Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
Zwarunku(ú)dostajemy0(u{X\U:UER})™0(X\U)=X\Ujbo
0(X\U)=X\UdlakażdegoUER,azatem
0(‹{X\U:UER})™‹{X\U:UER}.
Inkluzjaodwrotnawynikazwarunku(2).
Pozostajesprawdzić,żeclTA=0(A)dlakażdegoA™X.Zwarunku(4)
wynika,że0(A)jestzbioremdomkniętymwsensietopologiiTdlakażdego
A™X.Stądnamocywarunku(2)dostajemyclTA™0(A).Jednocześnie
namocywarunku(ú)mamy0(A)™0(clTA)=clTA,boclTAjestzbiorem
domkniętymorazA™clTA.Otrzymanarównośćkończydowód.
⇤
wynikazprawdeMorgana.Związekmiędzynimiwyjaśniakolejnylemat.
Lemat1.2.18.WkażdejprzestrzenitopologicznejXdlakażdegozbioru
A™Xprawdziwes!następuj!cerówności
IntA=X\cl(X\A)orazclA=X\Int(X\A).
(1.12)
Dowód.ZinkluzjiX\A™cl(X\A)wynika,żeX\cl(X\A)™A.
Skorozbiórpolewejstronieinkluzjijestotwarty,toX\cl(X\A)™IntA.
JednocześniemamyIntA™A,azatemX\A™X\IntA,przyczymzbiór
poprawejstronieinkluzjijestdomknięty,awięccl(X\A)™X\IntA.Stąd
otrzymujemyinkluzjęIntA™X\cl(X\A)jktóradowodzipierwszejczęści
lematu.Dowóddrugiejczęścilematujestanalogiczny.
⇤
cialubwnętrzaniedajenowegozbioru.Stosującnaprzemianoperacjewnętrza
idomknięciaustalonegozbioruodpewnegomomentutakżenieotrzymujemy
jużnowychzbiorów.
Lemat1.2.19.WkażdejprzestrzenitopologicznejXidladowolnegozbio-
ruA™Xzachodz!następuj!cerówności
clIntclIntA=clIntAorazIntclIntclA=IntclA.
Dowód.Zauważmy,żeIntclIntA™clIntA,awięc
clIntclIntA™cl(clIntA)=clIntA.
Inkluzjaprzeciwnawynikaztego,żeIntA™clIntA,czyliIntA™IntclIntA,
awięcclIntA™clIntclIntA.Tokończydowódpierwszejrówności.Drugą
dowodzimyanalogicznie.
⇤
lonegozbiorumożnaotrzymać,łącznieznimsamym,conajwyżej7różnych
zbiorów.Sątonastępującezbiory:
AjclAjIntclAjclIntclAorazIntAjclIntAjIntclIntA.
