Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.GENEROWANIETOPOLOGII,BAZYIPODBAZY
7
TopologięporządkowąwzbiorzeRwszystkichliczbrzeczywistychnazy-
wamytopologiąnaturalną,azbiórRztątopologiąnazywamyprostą
Definicja1.1.5(bazaipodbaza).JeśliTjesttopologi!nazbiorzeX,
tobazątopologiiTnazywamytak!rodzinęB™T,żekażdyniepustyzbiór
otwartywtopologiiTjestsum!pewnejpodrodzinyrodzinyB,tzn.dlakażdego
UETistniejetakieR™B,żetR=U.RodzinęD™Tnazywamypodbazą
topologiiT,gdyrodzina
Ó‹R:R™Doraz0<|R|<ÊÔ
jestbaz!tejtopologii.
Definicjębazymożnaprzeformułowaćnastępująco:rodzinaB™Tjestba-
zątopologiiT,gdydlakażdegoUETikażdegopunktuxEUistniejetakie
VEB,żexEV™U.DladanejtopologiiTmożeistniećwielebaziwiele
podbaz.Wszczególnościkażdabazajestjednocześniepodbazą,akażdatopo-
logiajestswojąwłasnąbazą.Wtopologiidyskretnejistniejebazazłożonaze
zbiorówjednopunktowych.Natomiastbazątopologiiporządkowejwzbiorzeli-
niowouporządkowanym(Xj<)jestrodzinaIntv(Xj<).Podbazątejtopologii
jestrodzinawszystkichprzedziałównieograniczonych,tzn.rodzina
{(Ωja):aEX}fi{(bjæ):bEX}j
bodladowolnychajbEXmamy(ajb)=(ajæ)fl(Ωjb).
Opiszemyterazogólnąmetodęokreślaniatopologiinadanymzbiorzewta-
kisposób,byzadanezgórypodzbiorybyłyotwarte.Metodajestanalogiczna
dogenerowaniapodgrupyprzezzadanypodzbiórgrupy.Zauważmy,żejeśliT
jestniepustąrodzinątopologiinazbiorzeX,touTtakżejesttopologiąna
zbiorzeX.Sprawdzenietegofaktupozostawiamyczytelnikowi.
Definicja1.1.6(topologiagenerowanaprzezrodzinęzbiorów).Dlakaż-
dejrodzinyzbiorówR™D(X)topologię
T(R)=‹{T™D(X):Tjesttopologi!naXorazR™T}j
nazywamytopologiągenerowanąprzezrodzinęR.
Przypomnijmy,żenakażdymzbiorzeistniejetopologiadyskretna,awięc
rodzinatopologiinadowolnymzbiorzejestniepusta.TopologiaT(R)jestza-
tempoprawnieokreślona.Zauważmy,żetopologianazbiorzeliniowouporząd-
Faktycznie,dlaajbEXmamy(ajb)=ÿlub(ajb)=(Ωjb)fl(ajæ),awięc
T(Xj<)=T({(ajæ):aEX}fi{(Ωjb):bEX}).
(1.1)
Topologięgenerowanąprzezrodzinęzbiorówmożnaopisaćzapomocąoperacji
sumyiiloczynuzbiorówwnastępującysposób:
