Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.GENEROWANIETOPOLOGII,BAZYIPODBAZY
5
RodzinaT=D(X)jestwoczywistysposóbtopologiąnaX.Wtejtopolo-
giikażdypodzbiórzbioruXjestotwartyizarazemdomknięty.Takątopologię
nazywamydyskretną.Zbiórztopologiądyskretnąnazywamyprzestrzenią
dyskretną.Naprzeciwnymkrańcusątopologieantydyskretne,czylitakie,
wktórychjedynymizbioramiotwartymisąXorazÿ.PunktxEXnazy-
wamypunktemizolowanym,gdy{x}ET,tzn.gdyzbiórzłożonyjedynie
zpunktuxjestotwarty.Wprzestrzenidyskretnejwszystkiepunktysązatem
izolowane.PunktprzestrzeniX,któryniejestizolowany,nazywamypunk-
temskupieniaprzestrzeniX.Zilustrujemytepojęciaprostymiprzykładami.
Przyk≥ad1.1.2(przestrzeńzjednympunktemskupienia).WzbiorzeX
mocyR≥ÊustalmypunktxoiokreślmytopologięnaXwzorem
T={U™X:xo/
EUlub|X\U|<Ê}.
RodzinaTjesttopologią,bozbiórpustyjestskończony,sumadwóchzbiorów
skończonychjestzbioremskończonym,apodzbiórzbioruskończonegotak-
żejestskończony.DlakażdegoxEX\{xo}zbiórjednopunktowy{x}jest
otwarty,awięckażdypunktpozapunktemxojestizolowany.Przestrzenie
zjednympunktemskupieniamocyR≥ÊoznaczamysymbolemA(R).Poka-
zależątylkoodichmocy.
˚
Więcejoprzestrzeniachzjednympunktemskupienianapiszemywprzy-
izolowanych,tomówimy,żejestonawsobiegęsta.Przykładprzestrzeni
Przyk≥ad1.1.3(przestrzeńFurstenberga).WzbiorzeZwszystkichliczb
całkowitychdladowolnychxEZoraznEN,określamynieskończonypostęp
arytmetycznywzorem
x+nZ={x+na:aEZ}.
TopologiaFurstenbergazadanajestnazbiorzeZwzorem
T={U™Z:(VxEU)(÷nEN)(x+nZ™U)}.
Zdefinicjiwynika,żeZEToraztRETdladowolnejrodzinyR™T.
Ponadto,jeśliUjVET,toUflVET.Faktycznie,dlakażdegoxEUflV
istniejątakienjmEN,żex+nZ™Uorazx+mZ™V.Wówczas
x+nmZ™(x+nZ)fl(x+mZ)™UflV.
ZbioryniepusteotwartewtopologiiFurstenbergasąnieskończone,awięc
zbioryjednopunktowyniesąotwarte,czyliprzestrzeńtajestwsobiegęsta.
˚
jestciałemzbiorów,gdyXœR,adladowolnychUjVœRtakżeU\VœR.WtedyÿœR,
azprawdeMorganawynika,żewówczastakżeX\VjUflVjUfiVœR.
3CelempracyFurstenberga,któramazaledwie12wierszy(nielicząctytułuinazwiska
autora),byłtopologicznydowódtwierdzenia,żezbiórliczbpierwszychjestnieskończony;