Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Największywspólnydzielniknliczbinajmniejszawspólna...
(NWD1)
k∈{1,...,n}
^
d|ak,
(NWD2)^
d1∈N
[(^
k∈{1,...,n}
d1|ak)=⇒d1<d].
15
Niechn∈Niniechliczbya1,...,an∈Zbędątakie,żeak/=0przy
pewnymk∈{1,...,n}.Jeśliliczbad1∈Z\{0}spełniadlakażdegok∈
{1,...,n}warunekd1|ak,tod1|(a1,...,an).(Innymisłowy:każdywspólny
dzielnikliczba1,...,anjestdzielnikiemnajwiększegowspólnegodzielnikatych
liczb).
Niechliczbya1,...,an∈Zbędątakie,żeak/=0przypewnymk∈
{1,...,n}iniechd=(a1,...,an).Istniejąwówczasliczbycałkowitek1,...,kn
takie,żezachodzirówność
d=a1k1+...+ankn.
(1.4)
Najmniejsząwspólnąwielokrotnościąliczba1,...,an∈Z\{0}nazywamy
najmniejsząliczbęnaturalnąpodzielnąprzezkażdązliczba1,...,an.
Liczbaw∈Njestnajmniejsząwspólnąwielokrotnościąliczba1,...,an
wtedyitylkowtedy,gdyspełnionesąwarunki:
(NWW1)
k∈{1,...,n}
^
ak|w,
(NWW2)^
w1∈N
[(^
k∈{1,...,n}
ak|w1)=⇒w<w1].
Najmniejsząwspólnąwielokrotnośćliczba1,...,anoznaczamyzazwyczaj
przezNWW(a1,...,an)lubprzez[a1,...,an].
Niechn∈Niniecha1,...,an∈Z\{0}.Jeśliliczbaw1∈Z\{0}spełnia
dlakażdegok∈{1,...,n}warunekak|w1,to[a1,...,an]|w1.(Innymisłowy:
każdawspólnawielokrotnośćliczba1,...,anjestwielokrotnościąnajmniejszej
wspólnejwielokrotnościtychliczb).
Przykład7.Wykazać,żedladowolnegon∈N\{1}idladowolnych
a1,...,an,an+1∈Nzachodzirówność:
(a1,...,an,an+1)=((a1,...,an),an+1).
Rozwiązanie.Przypowyższychoznaczeniachdlakażdejliczbyd1∈Npraw-
dziwajestrównoważność
d1|a1,...,d1|an,d1|an+1⇐⇒d1|(a1,...,an),d1|an+1.
Zbiórwspólnychdzielnikówliczb(a1,...,an)ian+1jestwięcrównyzbiorowi
wspólnychdzielnikówliczba1,...,an,an+1.Wobectegonajwiększeelementy
tychzbiorów,czyliliczby(a1,...,an,an+1)i((a1,...,an),an+1),sąrówne.
