Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Największywspólnydzielnikoraznajmniejszawspólna...
1.2.Największywspólnydzielnikoraznajmniejsza
wspólnawielokrotnośćdwóchliczb
11
Niecha,b∈Zprzyczyma/=0lubb/=0.Największymwspólnymdzielnikiem
liczbaibnazywamynajwiększąliczbęnaturalnądzielącąaib.
NajwiększywspólnydzielnikliczbaiboznaczamyprzezNWD(a,b)lub
krócejprzez(a,b).Liczbanaturalnadjestnajwiększymwspólnymdzielnikiem
liczbaibwtedyitylkowtedy,gdyspełnionesąwarunki:
(NWD1)
d|a,d|b,
(NWD2)
^
(d1|a,d1|b=⇒d1<d).
d1∈N
Niechnaprzykłada=195ib=315.Ponieważwszystkimiwspól-
nymidzielnikaminaturalnymiliczb195i315sąliczby1,3,5i15,więc
(195,315)=15.
Niechliczbya,b∈Zbędątakie,żea/=0lubb/=0iniechd=(a,b).Jeśli
liczbad1∈Z\{0}spełniawarunkid1|aid1|b,tod1|d.(Innymisłowy:
każdywspólnydzielnikliczbaibjestdzielnikiemnajwiększegowspólnego
dzielnikatychliczb).
Niechliczbya,b∈Zbędątakie,żea/=0lubb/=0iniechd=(a,b).
Istniejąwówczasliczbycałkowitekiltakie,żezachodzirówność
d=ak+bl.
(1.1)
Mówimy,żeliczbycałkowiteaibsąwzględniepierwsze,jeśli(a,b)=1.
Jeślia,b,c∈Noraza|bci(a,b)=1,toa|c.
Niechliczbya,b∈Z,d∈Nspełniająwarunkia/=0lubb/=0oraz
d=(a,b).Niechponadtoliczbya1,b1∈Zbędątakie,żea=da1ib=db1.
Wówczas(a1,b1)=1.
Niecha,b∈Z\{0}.Najmniejsząwspólnąwielokrotnościąliczbaibnazy-
wamynajmniejsząliczbęnaturalnąpodzielnąprzezaib.Najmniejsząwspólną
wielokrotnośćliczbaiboznaczamyprzezNWW(a,b)lubkrócejprzez[a,b].
Liczbanaturalnawjestnajmniejsząwspólnąwielokrotnościąróżnychod
0liczbcałkowitychaibwtedyitylkowtedy,gdysąspełnionewarunki:
(NWW1)
a|w,b|w,
(NWW2)
^
(a|w1,b|w1=⇒w<w1).
w1∈N
