Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
Rozdział1.Podzielnośćwzbiorzeliczbcałkowitych
UWAGA
Zwłasnościrelacjipodzielnościwynika,żedladowolnychliczba,b∈Z\{0}
zachodząrówności[a,b]=[−a,b]=[a,−b]=[−a,−b].Ztegowzględu
wrozważaniachmożnaograniczyćsiędoprzypadku,gdya,b∈N.
Niecha,b∈Z\{0}iniechw=[a,b].Jeśliliczbaw1∈Z\{0}spełnia
warunkia|w1ib|w1,to[a,b]|w1.(Innymisłowy:każdawspólnawielokrot-
nośćliczbaibjestwielokrotnościąnajmniejszejwspólnejwielokrotnościtych
liczb).
Dladowolnychliczbnaturalnychaibzachodzirówność
(a,b)[a,b]=ab.
(1.2)
Przykład3.Wskazaćprzedstawienieliczby(40,55)wpostaci40k+55l.
Rozwiązanie.Ponieważ(40,55)=5,więcprzypewnychk,l∈Zzachodzi
równość5=40k+55l,którajestrównoważnazezwiązkiem1=8k+11l.
Widać,żemożnawziąćnaprzykładk=−4il=3.Żądaneprzedstawienie
jestwięcnastępujące:(40,55)=5=40(−4)+55l3.
Przykład4.Rozwiązaćwzbiorzeliczbnaturalnychukładrównań
{xg=8820,
[x,g]=630.
Rozwiązanie.Zgodniezezwiązkiem(1.2)powyższyukładrównańjestrów-
noważnyznastępującymukładem:
{xg=8820,
(x,g)=14.
Ponieważ(x,g)=14,więcx=14k,g=14lprzypewnychk,l∈Ztakich,
że(k,l)=1.Popostawieniux=14k,g=14ldorównaniaxg=8820
uzyskujemyrównaniekl=45.Maononastępującerozwiązaniawzbiorze
względniepierwszychliczbnaturalnychkil:
{k=1,
l=45;
{k=5,
l=9;
{k=9,
l=5;
{k=45,
l=1.
Wobectegowszystkimirozwiązaniami(x,g)danegoukladurównańwzbiorze
liczbnaturalnychsąpary:(14,630),(70,126),(126,70)i(630,14).
