Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
Rozdział1.Podzielnośćwzbiorzeliczbcałkowitych
Jeślia,b∈Nib|a,to1<b<a.
Jeślia,b∈Norazb|aia|b,toa=b.
Przykład1.Niecha=2863915684.Wskazaćtakieprzedstawienieliczbya,
zktóregoodrazuwidać,że7|a.
Rozwiązanie.Zauważmy,żea=28l108+63l106+91l104+56l102+84.
Ponieważkażdazliczb28,63,91,56i84jestpodzielnaprzez7,więc7|a.
Przykład2.Wykazać,że15|13l7n+17l(−8)ndlakażdegon∈No.
Rozwiązanie.Zastosujemyindukcjęzupełnąwzględemn.Dlakażdegon∈
NoprzezT(n)oznaczmyzdanie15|13l7n+17l(−8)n.
KrokI.TezaT(0)jestrównoważnazezdaniem15|30,czylijestprawdziwa.
KrokII.Weźmydowolnąliczbęn∈Noizałóżmy,żetezaT(n)jestprawdziwa.
Wobectego13l7n+17l(−8)n=15k,przypewnymk∈Z.Zachodząwtedy
równości:
13l7n+1+17l(−8)n+1=7l13l7n−8l17l(−8)n
=7[13l7n+17l(−8)n]−15l17l(−8)n
=7l15k−15l17l(−8)n=15[7k−17l(−8)n]=15m
przypewnymm∈Z.ZatemzprawdziwościtezyT(n)wynikaprawdziwość
tezyT(n+1).
NamocyzasadyindukcjizupełnejzdanieT(n)jestprawdziwedlakażdego
n∈No.
Zadania
1.Niecha=781696591.Wskazaćtakieprzedstawienieliczbya,zktórego
odrazuwidać,że13|a.
2.Wykazać,żedlakażdejliczbyn∈Noprawdziwyjestzwiązek:
(a)7|3l11n+4n+1;
(b)6|5l11n+7l(−1)n;
(c)5|7l4n+8l(−1)n;
(d)11|13l17n−2l(−5)n.
3.Wykazać,że(264−1)|(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)l...l(264+1).
4.Znaleźćwszystkieliczbynaturalnentakie,żen+1|n2+1.
5.Znaleźćwszystkieliczbynaturalnentakie,żen+2|n2+5n−6.
6*.Wyznaczyćwszystkietrójki(a,b,c)liczbnaturalnycha,bic,które
spełniająwarunki:a|b+c,b|a+cic|a+b.
