Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Największywspólnydzielnikoraznajmniejszawspólna...
13
Przykład5.Wykazać,żejeślia,b,k∈Z,przyczyma/=0lubb/=0,to
zachodzirówność
(a,b)=(a+kb,b)=(a,b+ka).
(1.3)
Rozwiązanie.Wykażemy,że(a,b)=(a+kb,b).Dlakażdegod∈Nprzy
oznaczeniachzadaniaprawdziwesąimplikacje:
d|a,d|b=⇒d|(a+kb),d|b;
d|(a+kb),d|b=⇒d|((a+kb)−kb),d|b=⇒d|a,d|b.
Zpowyższychimplikacjiwynika,żezbiórwszystkichwspólnychdzielników
naturalnychliczbaibjestrównyzbiorowiwszystkichwspólnychdzielników
naturalnychliczba+kbib.Stądteza.
Dowódrówności(a,b)=(a,b+kb)jestpodobny.
Przykład6.Wykazać,żedladowolnychliczbcałkowitychaibtakich,że
a/=0lubb/=0,zachodzirówność(3a+8b,5a+13b)=(a,b).
Rozwiązanie.Dladowolnejliczbynaturalnejdidowolnychliczbcałkowitych
a,bprawdziwesąimplikacje:
d|a,d|b=⇒d|(3a+8b),d|(5a+13b);
d|(3a+8b),d|(5a+13b)=⇒d|(5(3a+8b)−3(5a+13b))=⇒d|b;
d|(3a+8b),d|(5a+13b)=⇒d|((−13)(3a+8b)+8(5a+13b))=⇒d|a.
Zpowyższychimplikacjiwynika,żezbiórwszystkichwspólnychdzielników
naturalnychliczbaibjestrównyzbiorowiwspólnychdzielnikówliczb3a+8b
i5a+13b.Stądteza.
Zadania
7.Mającdaneliczbyaib,znaleźćjednozprzedstawieńliczby(a,b)wpo-
staciak+bl,gdziek,l∈Z:
(a)11,7;
(b)9,32;
(c)26,10;
(d)18,39;
(e)35,84.
8.Wykazać,żedladowolnychliczbcałkowitychaibtakich,żea/=0lub
b/=0,zachodzirówność:
(a)(7a+4b,9a+5b)=(a,b);
(b)(4a+9b,5a+11b)=(a,b).
