Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28Okruchymatematyki
Rys.3
Rys.4
Zwarunków(1)i(2)wynikająoszacowaniapodanewtwierdzeniu.
PonieważfiguraΦjestzawartawkoleopromieniuR,więc2R>D,
czyli
1
2D<R.JeżeliterazokrągOzawieratrzypunktyfiguryΦbędące
wierzchołkamitrójkątaostrokątnegoABC(rys.4),toconajmniejjeden
zkątówmamiaręniemniejsząniż
1
3π.Sinustegokątaαjestniemniejszy
niż
1
2
√3,aboktrójkątależącynaprzeciwtegokątajestniewiększyniż
D,takwięcnapodstawietwierdzeniasinusówmamy
2R=
|AB|
sinα
<
2
3
D√3,
czyli
R<
1
3
D√3.
Wprzypadkunierówności(b)postępujemypodobnie.Brzegkoła
wpisanegozawieradwapunktybrzegowefiguryΦpołożonenakońcach
średnicylubtrzypunktybrzegowefiguryΦstanowiącewierzchołkitrój-
kątaostrokątnego(rys.5).Kołowpisanezawierasiębowiemwkażdym
pasiezawierającymfiguręΦ.Spełnionajestzatemnierówność2r<d,
czylir<1
2d.JeżelizaśbrzegkoławpisanegoO,zawieratrzypunkty
brzegoweA,B,Ctejfigury,stanowiącewierzchołkitrójkątaostrokątne-
go,tozbrzegówpasówzawierającychfiguręΦmożnautworzyćtrójkąt
A,B,C,(rys.6)opisanyjednocześnienafigurzeΦiokręguO,.Oznacz-
mydługościbokówtegonowegotrójkątaprzeza,b,c(ajestdługością
najdłuższegoboku),adługościodpowiednichwysokościprzezha,hb,hc.
PolepowierzchnitrójkątaA,B,C,jestzjednejstronyrówne1
2(a+b+c)r,
zdrugiejzaś
1
2aha.Zzałożeniaa>b,a>c,więczrówności
1
2(a+b+c)r=1
2aha
