Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Figurywypukłeakoła27
Zauważmyjednak,żenawetdlatychfigur,dlaktórychistniejekoło
opisaneiwpisanewklasycznym(szkolnym)sensie,określonetupromie-
niemogąbyćinneoduzyskanychwklasycznysposób.Naprzykład,dla
trójkątówrozwartokątnychRjestmniejszeodpromieniakołaopisanego
natrójkąciewklasycznymsensie(rys.2).
ZwiązekmiędzyliczbamiD,d,R,rokreślanastępującetwierdzenie:
TWIERDZENIE.DlakażdejfiguryΦwypukłejiograniczonejsąspełnione
nierówności
(a)
(b)
1
2D<R<1
3D√3,
1
3d<r<1
2d;
żadnegoztychoszacowańniemożnapoprawić.
DOWÓD.To,żeoszacowaniateniemogąbyćpoprawione,wynika
znastępującychprzykładów:prostokątaośrednicyD,trójkątarówno-
bocznegoobokudługościD,trójkątarównobocznegoowysokościd
iprostokątaoszerokościd.
Zwcześniejszychrozważańwiemy,żedlakażdejfigurywypukłej
iograniczonejistniejekołodomknięte(odpowiednio,otwarte)zawiera-
jącetęfigurę(odpowiednio,zawartewtejfigurze)imającepromieńR
(odpowiednior);kołotonazywamyopisanym(odpowiednio,wpisanym).
Obienierównościmożnaudowodnić,niekorzystając„podrodze"
ztegofaktu,aledowódjestwtedybardziejskomplikowany.
Przystąpmywreszciedouzasadnieniapunktu(a).Brzegkołaopisa-
negomusispełniaćjedenzwarunków:
(1)należądoniegodwapunktybrzegowefiguryΦleżącenaprze-
ciwległychkońcachśrednicy;
(2)należądoniegotrzypunktybrzegowefiguryΦpołożonewwierz-
chołkachtrójkątaostrokątnego.
Załóżmybowiem,żekołoobrzeguOzawierafiguręΦiniespełnia
żadnegozpodanychwarunków.IstniejezatemłukABokręguO,oroz-
wartościmniejszejniżπ,zawierającyczęśćwspólnąOiΦ.Możemy
więcprzesunąćrównolegleokrągOwkierunkuprostopadłymdocięciwy
ABiznaleźćkołoomniejszympromieniuzawierającefiguręΦ(rys.3).
