Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Jakzakryćplamęnaobrusie?21
tuA,B,Cjestniewiększaniżr;patrzrys.8).Zatemkażdetrzykoła
opromieniachriśrodkachnależącychdofiguryfmająpunktwspólny.
ZdrugiejwersjitwierdzeniaHelly’egowynikaistnieniepunktuO,któ-
rynależydowszystkichkółośrodkachwfigurzefipromieniachr,co
oznacza,żekołoopromieniuriśrodkuwpunkcieOprzykrywacałą
figuręf.
v
Rys.8
Wniosektenpozwalaudzielićodpowiedzinapostawionewcześniej
pytanie.
TWIERDZENIE(H.Jung,1901).Dowolnąfigurępłaskąfośrednicyd
możnaprzykryćkołemopromieniu
1
3d√3.
DOWÓD.Wybieramydowolnetrzypunktyfiguryf,naprzykład
A,B,C.KażdyztrzechbokówtrójkątaABCmadługośćnieprzekra-
czającąd.JeślitrójkątABCjestrozwartokątnylubprostokątny,tozawie-
rasięonwkole,któregośrednicąjestnajdłuższybok(rys.9).Promień
takiegokołanieprzekraczawartości
1
2d<1
3d√3.JeżelitrójkątABC
jestostrokątny,tomiaraprzynajmniejjednegozkątów,naprzykładkąta
przywierzchołkuA,którąoznaczymyprzezα,mieścisięwprzedziale
1
3π<α<1
2π.Wówczassinα>1
2
√3,aponieważdługośćbokuBC
leżącegonaprzeciwwierzchołkaAjestniewiększaniżd,więcśredni-
ca2RokręguopisanegonatrójkącieABC,którajestrówna
sinα
d
,nie
przewyższa
2
3d√3,czyliR<1
3d√3(rys.10).
