Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Jakzakryćplamęnaobrusie?19
TWIERDZENIEHELLY’EGO(IIwersja).Jeżelikażdetrzyfigurynależące
dorodzinyFograniczonychidomkniętychfigurwypukłychmająpunkt
wspólny,towszystkiefiguryrodzinyFmająpunktwspólny.
DOWÓD.Wyjaśnijmynajpierw,cobędziemyrozumieliprzezzbiórdo-
mkniętyiograniczonynapłaszczyźnie.Punktxnazywamypunktemsku-
pieniazbioruA,jeślidowolniebliskopunktuxznajdująsiępunktyzbio-
ruAróżneodpunktux.Naprzykład,jedynympunktemskupieniazbioru
{1,1
2,1
3,...}jestpunkt0.ZbiórAnazywamydomkniętym,jeślikażdy
punktskupieniazbioruAnależydoA.Zbiór,któregodopełnieniejest
zbioremdomkniętym,nazywamyotwartym.Wreszcie,zbiórnazywamy
ograniczonym,jeśliistniejekoło,któregozawiera.Ustalmyponadto,że
pokryciemotwartymzbioruAnazywamyrodzinępodzbiorówotwartych
{Pi}i∈Itaką,że
A⊆U
i∈I
Pi
(Ioznaczazbiórwskaźników).WówczaszgodnieztwierdzeniemBore-
la–Lebesgue’a[7]:jeżeliFjestdomkniętymiograniczonympodzbiorem
płaszczyzny,todlakażdegopokryciaotwartego{Pi}i∈IzbioruFistnieje
takiskończonyzbiór{i1,i2,...,ik},k∈N,że{Pi
n}nŚkjestpokryciem
zbioruF.
NiechF={Fi}i∈Ibędzierodzinądomkniętych,ograniczonychfigur
wypukłych,zktórychkażdetrzymająpunktwspólny.Jakwynikazpierw-
szejwersjitwierdzeniaHelly’ego,dowolnaskończonaliczbazbiorów(nie
mniejszaod3)rodzinyFmaniepustączęśćwspólną.Wykażemy,że
Π
Fi/=∅.Ustalmyi0∈Iorazrozpatrzmyzbioryotwarte(R2−Fi)
i∈I
dlai∈I−{i0}.Załóżmy,że
Π
i∈I
Fi=(Π
i∈I−{i0}
Fi)∩Fi
0=∅.
Mamywtedy
Fi
0⊂U
i∈I−{i0}
(R2−Fi),
cooznacza,żezbiory{R2−Fi}i∈I−{i
0}stanowiąotwartepokryciezbioru
Fi
0.PonieważFi
0jestzbioremdomkniętymiograniczonym,więcztego
