Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
1.Całkinieoznaczone
/(2sin3x+2cos2xsinx)dx=/2sinx(sin2x+cos2x)
\
\f
/
dx=
1
=2/sinxdx=−2cosx+C.
I
Ćwiczenie1.7.Obliczyćcałkę
/
cos2xsin2x
1
dx.
Rozwiązanie.Stosująctożsamość1=cos2x+sin2xorazaddytywnośćcałki,
dostajemy
/
cos2xsin2x
1
dx=/
=/
$$$
cos2x+sin2x
cos2xsin2x
cos2xsin2x
$$$
cos2x
dx+/
dx=
cos2x$$$
$$$
sin2x
sin2x
dx=
=/
sin2x
1
dx+/
cos2x
1
dx.
Obliczającostatniecałkiwedługwzorów(1.11)i(1.10),otrzymujemy
/
cos2xsin2x
1
dx=tgx−ctgx+C.
I
Ćwiczenie1.8.Obliczyćcałkę
J=/(2·3x+
1
x
+
√2+√2x2
1
+
x+1
√x)dx.
Rozwiązanie.Namocyaddytywnościijednorodnościcałkidostajemy
J=2/3xdx+/
x
1
dx+
√2/
1
1+x2
1
dx+/x1
2dx+/x11
2dx.
Korzystajączewzorów(1.7),(1.5),(1.14)i(1.2),mamy
J=
ln3
2
3x+ln|x|+
√2
1
arctgx+
2
3
x
3
2+2x
1
2+C.
I
Ćwiczenie1.9.Znaleźćcałkę
/
e2x−1
ex
dx.
Rozwiązanie.Bezpośredniozaddytywnościcałkiotrzymujemy
/
e2x−1
ex
dx=/
e2x
ex
dx−/
ex
1
dx=/exdx−/e1xdx.
Całka∫exdxwedługwzoru(1.6)jestrównaex+C,natomiastnietrudnoza-
uważyć,żecałka∫e1xdxjestrówna−e1x+C.Istotnie,namocydefinicjicałki
