Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
26
Zbiórzadańztopologiiogólnej
Rozwiązaniezadania1.11.(T1)∅ETzokreśleniarodzinyT.Warunek
XETwynikazfaktu,żeX\X=∅jestzbioremskończonym.
(T2)NiechAET,BET.WówczasA∩B=∅,gdyA=∅lubB=∅.
JeżeliA,Bsązbioramimającymitęwłasność,żeX\A,X\Bsązbiorami
skończonymi,tozrównościX\(A∩B)=(X\A)∪(X\B)wynika,że
X\(A∩B)jestzbioremskończonym.StądA∩BET.
(T3)Niech{As:sES}⊂T.Możliwesąprzypadki:
(a)As=∅dlakażdegos,to∪
As=∅.
sES
(b)zbioryAsmajątęwłasność,żeX\Asjestzbioremskończonymlub
As=∅,todopełnieniesumytychzbiorów,zrówności
X\∪
sES
As=∩
sES
(X\As),
jestzbioremskończonym.
Toznaczy,że∪
sES
AsET.
Rozwiązaniezadania1.12.Zauważmy,żewzbiorzeRliczbrzeczywi-
stychspełnionesąinkluzje:
Ta⊂TP⊂TN⊂Td;
Ta⊂TL⊂TN⊂Td
ikażdaznichjestistotna.
NatomiasttopologiesymetrycznaTSinaturalnaTNniesąporówny-
walne,boistniejenp.zbiór[-1,1],którynależydoTSinienależydoTN,
azbiór(1,7)należydoTNinienależydoTS.TakżetopologieTPiTS
niesąporównywalne,bonp.(4,Ń)ETPi(4,Ń)̸ETSoraz[-5,5]ETS
i[-5,5]̸ETP.
Rozwiązaniezadania1.13.Załóżmynajpierw,żeT1⊂T2.Weźmyzbiór
T1-domkniętyA.WtedyX\AjestT1-otwarty.WobeczałożeniaX\Ajest
zbioremT2-otwartym.OstatecznieAjestzbioremT2-domkniętym.Impli-
kacjęodwrotnądowodzimyanalogicznie.
Rozwiązaniezadania1.14.PonieważTjesttopologią,więcA∩Bnależy
doT.Zatemsądwiemożliwości:
