Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
Zbiórzadańztopologiiogólnej
3.Wskazówkiirozwiązania
Rozwiązaniezadania1.1.(a)Wystarczyzauważyć,że∅=X\Xoraz
X=X\∅.
(b)NiechA,Bbędązbioramidomkniętymi.Wtedy(X\A)∩(X\B)jest
zbioremotwartym.Zrówności(X\A)∩(X\B)=X\(A∪B)wynika,
żezbiórX\(A∪B)jestteżzbioremotwartym.StądA∪Bjestzbiorem
domkniętym.Indukcyjniemożnaudowodnić,żesumaskończonejliczby
zbiorówdomkniętychjestzbioremdomkniętym.
(c)Niech{Mj:jEJ}będzierodzinązbiorówdomkniętych.Wówczas
zbioryX\Mjdlakażdegojoraz∪
(X\Mj)sąotwarte.Wobecrówności
jEJ
X\∩
jEJ
Mj=∪
jEJ
(X\Mj)
równieżX\∩
Mjjestzbioremotwartym,awrezultacie∩
Mjjestzbiorem
jEJ
jEJ
domkniętym.
Rozwiązaniezadania1.2.(a)ZrównościU\F=U∩(X\F)wynika,że
U\Fjestzbioremotwartymjakoiloczyndwóchzbiorówotwartych.
(b)ZrównościF\U=F∩(X\U)wnioskujemy,żeF\Ujestzbioremdo-
mkniętymjakoiloczyndwóchzbiorówdomkniętych(patrzzadanie1.1).
Rozwiązaniezadania1.3.ŁatwydowódpozostawiamyCzytelnikowi.
Rozwiązaniezadania1.4.(T1)Wystarczyzauważyć,żezbiory∅,Xsą
podzbioramiX.
(T2)JeżeliAETd,BETd,toA⊂XorazB⊂X,azwłasnościinkluzji
A∩B⊂Xwynika,żeA∩BETd.
(T3)Jeżeli{As:sES}⊂Td,tozbiórAszawierasięwXdlakażdegos.
Stąd∪
As⊂X.Toznaczy,że∪
AsETd.
sES
sES
WkonsekwencjirodzinaTdjesttopologiąwX.
Rozwiązaniezadania1.5.(T1)Zdanie„xE∅”jestfałszywe,więcim-
plikacjazokreśleniaTNjestprawdziwa,tzn.∅ETN.NiechxERi8>0.
Wówczas(x-8,x+8)⊂R.StądRETN.
