Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
Zbiórzadańztopologiiogólnej
(T3)Niech{As:sES}będziepodrodzinąrodzinyT.JeżeliAs=∅dla
każdegos,to∪
As=∅.JeżeliprzynajmniejjedenzezbiorówAsjestniepu-
sES
sty,np.As
0,tox0EAs
0.AleAs
0⊂∪
As.Stądx0E∪
As,czyli∪
AsET.
sES
sES
sES
Dowodyprzykładów(b)i(c)przeprowadzamyanalogicznie.
Rozwiązaniezadania1.8.(T2)NiechAETP,BETP.Rozważmyprzy-
padki:
(a)A=∅lubB=∅,toA∩B=∅.
(b)A=RiB=(b,Ń),toA∩B=(b,Ń).
(c)A=(a,Ń)iB=(b,Ń),toA∩B=(max{a,b},Ń).
WrezultacieA∩BETP.
(T3)Niech{As:sES}⊂TP.Jeżeli∪
As=R,to∪
Asjestelementemro-
sES
sES
dzinyTP.NiechterazzbiórAsmapostać(as,Ń)dlakażdegos.Oznaczmy
a=inf{as:sES}.Wówczas∪
As=(a,Ń),więc∪
AsETP.
sES
sES
Udowodnimypowyższąrówność.Zokreśleniaawynika,że
(as,Ń)⊂(a,Ń)
dlakażdegos.Stąd
∪
sES
(as,Ń)=∪
sES
As⊂(a,Ń).
NiechxE(a,Ń).WówczaszwłasnościinfimumistniejeswzbiorzeStakie,
żexE(as,Ń),tzn.xE∪
(as,Ń).Stąd(a,Ń)⊂∪
As.
sES
sES
Dowóddlalewejtopologiijestpodobny(wuzasadnieniuwarunku(T3)
należyprzyjąća=sup{as:sES}).
Rozwiązaniezadania1.9.NIE.Zauważmy,że
∪{(a,Ń):aEQ∧a>√3}=(√3,Ń).
Zbiór(√3,Ń)jestsumązbiorówzrodzinyT,ale(√3,Ń)niejestelemen-
temtejrodziny.
Rozwiązaniezadania1.10.(T1)Oczywiście∅ET,box0̸E∅orazXET,
gdyżjestdopełnieniemzbioruskończonego∅.
(T2)NiechAET,BET.
(a)Jeślix0̸EAlubx0̸EB,tox0̸EA∩B.
