Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Topologiaijejpodstawowewłasności
25
(b)JeśliA=X\CiB=X\D,gdzieC,Dsązbioramiskończonymi,
toA∩B=(X\C)∩(X\B)=X\(C∪D),gdzieC∪Djestzbiorem
skończonym.
WkonsekwencjiA∩BET.
(T3)Niech{As:sES}⊂T.
(a)Jeżelix0nienależydożadnegozezbiorówAs,torównież
x0̸E∪
sES
As.
Zatem∪
sES
AsET.
(b)JeżelizbiórAs=X\Fs,gdzieFsjestzbioremskończonym,dla
każdegos,to
∪
As=∪
(X\Fs)=X\∩
Fs,
sES
sES
sES
a∩
Fsjestzbioremskończonymjakopodzbiórzbioruskończone-
sES
goFs.Stąd
∪
sES
AsET.
(c)Niechrodzina{As:sES}zawierazbiory,doktórychnienale-
żyx0orazzbiory,któresądopełnieniamizbiorówskończonych.
Oznaczmy:
S0={sES:x0̸EAs}.
Wówczas
∪
sES
As=∪
sES0
As∪∪
sES\S0
As,
atakżex0̸E∪
Asoraz∪
Asjestdopełnieniemzbioruskoń-
sES0
sES\S0
czonego.Namocy(a):∪
AsET,natomiastz(b):∪
AsET.
sES0
sES\S0
Należyzatemudowodnić,żedlazbioruAtakiego,żex0̸EAoraz
zbioruBowłasnościB=X\C,gdzieCjestzbioremskończonym,
sumazbiorówAiBjestelementemrodzinyT.Zrówności
A∪B=(X\(X\A))∪(X\C)=X\((X\A)∩C)
wynika,żesumaA∪Bjestdopełnieniemzbioruskończonego,
czylinależydoT.
