Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Topologiaijejpodstawowewłasności
23
(T2)NiechAETN,BETN.JeżeliA∩B=∅,towarunekjestspełniony.
JeżeliA∩B̸=∅,torozważmyelementxzbioruA∩B.WtedyxEAixEB.
ZokreśleniarodzinyTNistniejeliczbadodatnia81taka,że
(x-81,x+81)⊂A
orazistniejeliczbadodatnia82owłasności
(x-82,x+82)⊂B.
Niech8=min{81,82}.Wtedyotrzymamyinkluzję
(x-8,x+8)⊂A∩B.
WrezultacieA∩BETN.
(T3)Niech{As:sES}⊂TN.NiechxE∪
As.Wówczasistniejes0ES
sES
takie,żexEAs
0,czyliistnieje8s
0owłasności(x-8s
0,x+8s
0)⊂As
0.Ale
As
0⊂∪
As.Stąd(x-8s
0,x+8s
0)⊂∪
As.Ostatecznie∪
AsETN.
sES
sES
sES
Rozwiązaniezadania1.6.(T1)Zbiory∅,RnależądoTS,gdyżprawdzi-
wesąimplikacje:
(a)xE∅=⇒-xE∅;
(b)xER=⇒-xER.
(T2)NiechAETS,BETS.JeżeliA∩B=∅,towarunekjestspełniony.
JeżeliA∩B̸=∅,torozważmyelementxzbioruA∩B.WówczasxEA
orazxEB.Toimplikujefakt,że-xEAi-xEB,więc-xEA∩B.Stąd
A∩BETS.
(T3)NiechxE∪
As,gdzie{As:sES}jestpodrodzinąTS.Wówczas
sES
znajdziemytakiwskaźniks,żexEAs.ZokreśleniarodzinyTSwynika,że
-xEAs,więc-xE∪
As.Stąd∪
AsETS.
sES
sES
Rozwiązaniezadania1.7.(a)Warunek(T1)jestoczywisty,box0EX
oraz∅ETzokreśleniaT.
(T2)NiechAET,BET.Jeżeliprzynajmniejjedenzezbiorówjestpusty,
toichprzekrójjestpusty,więcnależydoT.JeżeliA̸=∅iB̸=∅,tox0EA∩B.
WrezultacieA∩BET.
