Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
Zbiórzadańztopologiiogólnej
Zadanie1.71.NiechRbędzieprzestrzeniątopologicznąztopologiąna-
turalną.Podajprzykładyzbiorówotwartychorazdomkniętychwtopologii
podprzestrzeninaodcinku[0,1].
Zadanie1.72.Podajprzykładzbioruotwartegowzględemtopologii
podprzestrzeni,któryniejestaniotwarty,anidomkniętywzględemdanej
topologii.
Zadanie1.73.Niech(X,T)będzieprzestrzeniątopologicznąiM⊂X.
Udowodnij,żepodzbiórAzbioruMjestdomkniętyw(M,TM)wtedy
itylkowtedy,gdyA=M∩F,gdzieFjestdomkniętympodzbiorem
przestrzeniX.
Zadanie1.74.NiechX={a,b,c,d},T={X,∅,{a,b},{a,b,c},{c}}oraz
M={a,c}.
(a)ZnajdźtopologiępodprzestrzenidlaM.
(b)Wyznaczyćrodzinęzbiorówdomkniętychw(M,TM).
Zadanie1.75.NiechMbędzieotwartympodzbioremprzestrzenitopo-
logicznej(X,T).Udowodnij,żepodzbiórAzbioruMjestotwartywMwte-
dyitylkowtedy,gdyAjestotwartywX.
Zadanie1.76.NiechMbędziedomkniętympodzbioremprzestrzenito-
pologicznej(X,T).Udowodnij,żepodzbiórAzbioruMjestdomknięty
wMwtedyitylkowtedy,gdyAjestdomkniętywX.
Zadanie1.77.Niech(X,T)będzieprzestrzeniątopologicznąorazApod-
zbioremX.Wykaż,że
(a)AETwtedyitylkowtedy,gdyTA⊂T.
(b)Ajestzbioremdomkniętymw(X,T)wtedyitylkowtedy,gdy
każdypodzbiórdomkniętywpodprzestrzeni(A,TA)jestdom-
kniętyw(X,T).
Zadanie1.78.NiechMbędziepodprzestrzeniąprzestrzenitopologicz-
nejX.Udowodnij,żejeżelipodzbiórAzbioruMjestzbioremtypuFσ(Gδ)
wX,tojesttypuFσ(Gδ)wpodprzestrzeniM.
Zadanie1.79.Niech(X,TX),(Y
,TY)będąprzestrzeniamitopologiczny-
mi.Udowodnij,żerodzinapodzbiorówWprzestrzeniXXY,dlaktórych
