Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Topologiaijejpodstawowewłasności
19
Zadanie1.63.Wykaż,żezbiórRliczbrzeczywistychztopologiąnatu-
ralnąspełniaIIaksjomatprzeliczalności.
Zadanie1.64.NiechX=Roraz
B={[a,w):a<w,aER,wEQ}.
Wykaż,żerodzinaBtworzybazępewnejtopologii(zwanejtopologią
strzałki).
Zadanie1.65.Wykaż,żezbiór
(a)[a,w),gdzieaER,wEQ,a<w,jestotwarto-domknięty,
(b)(a,b),gdzieaER,bER,a<b,jestotwarty
wzbiorzeRztopologiąstrzałki(patrzzadanie1.64).
Zadanie1.66.Wykaż,żeprzestrzeńztopologiąstrzałkispełniaIaksjo-
matprzeliczalnościiniespełniadrugiegoaksjomatuprzeliczalności.
Zadanie1.67.Niech(X,T)będzieprzestrzeniątopologicznąorazMpod-
zbioremprzestrzeniX.Udowodnij,żerodzina
{A⊂M:A=U∩M∧UET}
jesttopologiąwM(zwanątopologiąindukowanąwMprzezTlub
topologiąpodprzestrzeniioznaczanąsymbolemTM).
Zadanie1.68.NiechBbędziebazątopologiiTwXorazM⊂X.Wykaż,
żerodzina{U∩M:UEB}jestbazątopologiiindukowanejwMprzezT.
OznaczamyjąBM.
Zadanie1.69.NiechX={a,b,c,d,e}oraz
T={X,∅,{a},{a,b},{a,c,d},{a,b,c,d},{a,b,e}}.
Znajdźtopologiępodprzestrzeniwzbiorze{a,c,e}.
Zadanie1.70.NiechX={a,b,c,d,e,f}.
(a)Uzupełnijrodzinę{{a,b},{c},{b,c}}tak,abybyłatopologiąwzbio-
rzeX.
(b)Znajdźtopologiępodprzestrzenidlazbiorów{e,f}oraz{b,c}.
