Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Jednoznacznośćrozkładunaczynnikipierwsze
29
l[
p]+
n
Σ
jl2[
∞
pj]l
n
Σ
jli[
∞
pj].
n
FunkcjęIp(n)nazywamywykładnikiemodpowiadającymliczbiepierwszejp.Moż-
napokazać(Ostrowski[1]),żejeślif(x)jestfunkcjąowartościachcałkowitych,okre-
ślonądlaniezerowychliczbwymiernychispełniającąwarunki(i)i(iv)twierdzenia1.9,
toistniejeliczbapierwszapistałactaka,żef(x)lcIp(x).
Wartozwrócićuwagęnafakt,żewpewnychpodzbiorachzbioruliczbnaturalnych,
zamkniętychnamnożenie,możeniebyćjednoznacznościrozkładunaczynnikinieroz-
kładalne,awięcniejesttamsłusznyanalogontwierdzenia1.8.Wistocie,rozpatrzmy
zbiórAzłożonyzewszystkichliczbnaturalnychpostaci4n+1(nl0,1,2,...).Jest
onzamkniętynamnożeniezewzględuna(4m+1)(4n+1)l4(4mn+m+n)+1.
Liczbęn∈AnazwijmypierwsząwA,jeśliniemożnajejprzedstawićwpostaciilo-
czynuróżnychodjednościelementówA.Itaknaprzykładliczby5,9,13,17,21,33
i37sąpierwszewA,natomiast25nie,bo25l5·5i5∈A.Nietrudnopokazać,że
każdaliczbazA,różnaodjedności,dasięprzedstawićjakoiloczynliczbpierwszych
wA.Jednakżeprzedstawienietomożeniebyćjednoznaczne,gdyżnaprzykładliczba
693madwarozkłady:693l21·33l9·77.Zagadnieniejednoznacznościrozkładu
wzbiorachtegotypubyłobadanewpracach:Niven,James[1],Schreiber[1].
3.KorzystajączwprowadzonychfunkcjiIp(n),udowodnimyterazkilkawłasności
największegowspólnegodzielnikainajmniejszejwspólnejwielokrotności:
TWIERDZENIE1.10.Niechai,a2,...,anbędąniezerowymiliczbamicałkowitymi.
(i)Jeślidl(ai,a2,...,an),todlakażdejliczbypierwszejpmamy
Ip(d)lmin{Ip(ai),Ip(a2),...,Ip(n)}.
(ii)JeśliDl[ai,a2,...,an],todlakażdejliczbypierwszejpmamy
Ip(D)lmax{Ip(ai),Ip(a2),...,Ip(n)}.
(iii)JeśliN|aidlail1,2,...,n,toN|(ai,a2,...,an).
(iv)Jeśliai|Ndlail1,2,...,n,to[ai,a2,...,an]|N.
(v)Jeślia,bsąliczbaminaturalnymi,to(a,b)[a,b]lab.
Dowód:NiechDlΠp∈Pp
ćp,gdziecplmin{Ip(ai):il1,2,...,n}.Wobec
wniosku1ztwierdzenia1.9Ddzielikażdązliczbai,azatem0≤D≤d,alezdrugiej
stronywobecnierównościIp(d)≤Ip(ai)dlail1,2,...,nztegosamegowniosku
wynikad|D,awięciD≤d.OstateczniedlDiotrzymujemy(i).Zamieniającwtym
rozumowaniuminnamaxorazzwrotnierówności,otrzymujemydowód(ii).
Części(iii)i(iv)wynikająz(i)i(ii)orazzwniosku1ztwierdzenia1.9.Ostatnia
częśćtwierdzeniawynikazuwagi,żedladowolnychliczbrzeczywistychx,ymamy
max{x,y}+min{x,y}lx+yiz(i),(ii)oraztwierdzenia1.9(i).
WNIOSEK.(i)Każdywspólnydzielnikskończonegoukładuliczbcałkowitychjestdziel-
nikiemnajwiększegowspólnegodzielnikatychliczb.
