Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
301.Podstawowepojęcia
(ii)Każdawspólnawielokrotnośćskończonegoukładuliczbcałkowitychdzielisię
przezichnajmniejsząwspólnąwielokrotność.
Ćwiczenia
1.Pokazać,żeprzyn≥2ik≥2liczba2nlłniejestk-tąpotęgążadnej
liczbynaturalnej.
2.Pokazać,żeilośćω(n)różnychdzielnikówpierwszychliczbynniemoże
przekroczyćlogn/log2.
3.Udowodnić,żejeślipjestliczbąpierwszą,aliczbyw1,w2,...,wnsą
wymierneiniezerowe,aprzytymw1+w2+...+wn/l0,to
Ip(w1+w2+...+wn)≥min{Ip(wi):ilł,2,...,n}.
JeśliponadtomamyIp(wi)>Ip(w1)(il2,3,...,n),towtymwzorzezachodzi
równość.
4.Pokazać,żedlanaturalnycha,bmamy
(a,b,c)[a,b,c]l(ab,bc,ca)[a,b,c]
l(a,b,c)[a,b,c][(a,b),(b,c),(c,a)]labc
oraz
([a,b],[a,c],[b,c])l[(a,b),(a,c),(b,c)].
5.Ilezermanakońcuswegorozwinięciadziesiętnegoliczbał500!?
6.Pokazać,żeistniejeliczbamotejwłasności,żedlawszystkichnaturalnych
nmamyI2(n!)/lm.Czyliczbę2możnazastąpićdowolnąliczbąpierwszą?
7.Pokazać,żedlaklł,2,...iloczynkkolejnychliczbnaturalnychdzieli
sięprzezk!.
8.(Pólya[ł])(i)Niechf(X)będziewielomianemowymiernychwspółczyn-
nikach.Pokazać,żenato,byfprzyjmowałdlacałkowitychargumentówwartości
całkowite,potrzebaiwystarcza,abyfdałsięprzedstawićwpostaci
f(X)l
Σ
jl0
N
aj(
X
j)
zcałkowitymia0,a1,...,aN,przyczym
(
X
j)l
X(Xlł)···(Xljlł)
j!
.
(ii)Niechf(X)lΣ
jl0ajXjbędziewielomianemocałkowitychwspół-
n
czynnikachiniechNbędzieliczbąnaturalną.Udowodnić,żewszystkiewarto-
ścifwpunktachcałkowitychdzieląsięprzezNwtedyitylkowtedy,gdydla
jl0,ł,...,nmamy[j!,N]|aj.
(iii)(Nagell[ł])Znaleźćpostaćwielomianówf(X1,...,Xn)owymiernych
współczynnikach,któreprzyjmująwartościcałkowitewpunktachmających
wszystkiewspółrzędnecałkowite.
