Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Liniowerównaniadiofantyczne
31
1.3.Liniowerównaniadiofantyczne
1.Równaniemdiofantycznymnazywamykażderównanie,któregorozwiązańszu-
kamywzbiorzeliczbcałkowitychlubnaturalnych.Zajmiemysięteraznajprostszymi
znich,amianowicierównaniamiliniowymi,wktórychniewiadomewystępująwpierw-
szejpotędze.Szereginnychrównańrozpatrzymywrozdziale3.
TWIERDZENIE1.11.Niechai,a2,...,an,bbędąniezerowymiliczbamicałkowitymi.Rów-
nanie
Σ
jli
n
ajXjlb
(1.7)
marozwiązaniewliczbachcałkowitychwtedyitylkowtedy,gdydl(ai,a2,...,an)
dzielib.Jeśliwarunektenjestspełniony,toistniejerozwiązanie(1.7)spełniające
|Xi|≤
|
|
|
|
H
b
|
|
|
|
+
(nl1)H
2
,
przyczymHlmax{|ai|,|a2|,...,|an|}.
Dowód:Dostatecznośćpodanegowarunkuwynikaztwierdzenia1.6.Jeżelizaś(1.7)
marozwiązaniecałkowitexi,x2,...,xn,to
d|aixi+...+anxnlb,
atodajejegokonieczność.
Załóżmyteraz,żerównanie(1.7)marozwiązaniacałkowiteiprzyjmijmy,bezogra-
niczeniaogólnościrozważań,żeHl|an|.Zauważmy,żemożemyznaleźćrozwiązanie
Xjlxjnaszegorównania,spełniającenierówność
|xi|≤
H
2
(il1,2,...,nl1).
(1.8)
Wistocie,jeśliyi,y2,...,ynjestdowolnymrozwiązaniem(1.7),tokorzystającztwier-
dzenia1.2,możemy,przyodpowiednichcałkowitychqi,q2,...,qnli,napisać
yilqiH+xi,
przyczymliczbyxi,x2,...,xnlispełniają(1.8).Przyjmującteraz
xnlyn+
Σ
nli
jli
ajqj,
widzimy,żeliczbyxi,x2,...,xnspełniają(1.7),aprzytym
H|xn|l|anxn|l
|
|
|
|
bl
Σ
jli
nli
ajxj
|
|
|
|
≤|b|+
(nl1)H2
2
.
Zatem
|xn|≤
|b|
H
+
(nl1)H
2
,
cołączniez(1.8)dajeżądanywynik.
