Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Liniowerównaniadiofantyczne
35
resztęazdzieleniaprzezb,azatemprzypewnymcałkowitymymamyNlaxlalby,
skądNla(x+1)+byizewzględuna
bylNlaxla>ablalbla(bl2)lallb
otrzymujemyy>l1,azatemy≥0.
Gdybyśmymieliablalblax+byprzynieujemnychx,y,tozachodziłoby
b|a(x+1),azatemb|x+1,atodałobyx≥bl1,ax≥abla,awięc
bylNlax≤Nlab+allb,
tj.y<0,wbrewzałożeniu.
Analogicznetwierdzeniewprzypadkuliczbyniewiadomychwiększejod2niejest
znane.Pytanieonajmniejsząliczbęcałkowitą,niedającąsięzapisaćwpostaci
Σ
jli
n
ajxj
przynieujemnychxjizadanychdodatnichaj,nosinazwęproblemuFrobeniusa.
Ćwiczenia
1.Opisaćwszystkierozwiązaniacałkowiterównania2x+3y+5zlłł.
2.Opisaćwszystkierozwiązaniacałkowiteukładurównań
x+2y+3l6
2xl3y+łłzlł0.
3.Znaleźćwarunekkoniecznyidostatecznynarozwiązalnośćwliczbachcał-
kowitychukładurównań
ax+by+czld,
Ax+By+CzlD,
przycałkowitycha,b,c,d,A,B,C,D.
4.Wzorującsięnatwierdzeniuł.ł4,sformułowaćiudowodnićtwierdzenie
orozwiązaniachukładurównań
Σ
il1
m
aijxilbj
(jlł,2,...,n).
5.Pokazać,żejeśli(a,b)lł,aMjestzadanąliczbąnaturalną,toistnieje
rozwiązanierównaniaax+bylłspełniającewarunek(x,M)lł.
6.Znaleźćnajwiększąliczbęnaturalną,którejniemożnaprzedstawićwpostaci
2x+3y+5z.
