Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział
2
KONGRUENCJE
2.1.Podstawowewłasności
1.NiechNbędzieliczbąnaturalną,aNZideałemwpierścieniuliczbcałkowitych,
złożonymzewszystkichwielokrotnościliczbyN,tj.NZl{0,±N,±2N,...}.Pierścień
ilorazowyZ/NZnazywamypierścieniemresztwzględemmodułuNlubkrócejpierście-
niemreszt(modN).ElementytegopierścieniabędziemynazywaliresztamimodN.
Ztwierdzenia1.2wynika,żezbiór{0,1,2,...,Nl1}jestzbioremreprezentantówdla
Z/NZ.
Obrazliczbyn∈Zprzykanonicznymhomomorfizmief:Zl→Z/NZ,przypo-
rządkowującymkażdejliczbiecałkowitejmjejwarstwęm+NZ,będziemyoznaczać
przeznmodN.Jestjasne,żedwieliczbycałkowiteminleżąwtejsamejwarstwie
wtedyitylkowtedy,gdyichróżnicadzielisięprzezN.Piszemywówczas
min(modN)
(2.1)
imówimy,żeliczbyteprzystajądosiebiewedługmodułuN(lubkrócejmodN).
Znakinazywamysymbolemkongruencji,awzórpostaci(2.1)kongruencją.Będziemy
pisaliΣkmodNnaoznaczeniesumowaniapowszystkichresztachmodN.Oczywiście
będziemytostosowalijedyniewwypadku,gdyskładnikitejsumyzależąjedynieodich
resztymodN.
BędziemyteżużywalipojęciakongruencjiwpierścieniuZ[X]wielomianów
owspółczynnikachcałkowitych,ograniczającsięprzytymdoprzypadkukongruencji
omodulebędącymliczbąnaturalną.Itak,jeśliA,B∈Z[X],tobędziemypisać
A(X)iB(X)(modN),
oilewszystkiewspółczynnikiróżnicyA(X)lB(X)sąpodzielneprzezN.Pozostawiamy
Czytelnikowinietrudnesprawdzenie,żeczęści(i)i(ii)poniższegotwierdzeniasąsłuszne
takżeiwtejsytuacji.Zauważmy,żejeśliA(X)iB(X)(modN),todlawszystkich
całkowitychxmamyA(x)iB(x)(modN),aleodwrotnaimplikacjaniejestsłuszna.
ŚwiadczyotymprzykładwielomianówX4iX2wprzypadkuNl2,gdyżoczywiście
