Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
382.Kongruencje
Ostatniwniosekpokazujewszczególności,żeniemożnaznaleźćwzorupostaci
pnlW(n),gdziepnoznaczan-tąkolejnąliczbępierwszą,aW(X)jestwielomianem
ocałkowitychwspółczynnikach.
Wprzypadkuwielomianówwieluzmiennychsytuacjajestodmienna.Znanyjest
przykładwielomianu26zmiennychstopnia25otejwłasności,żekażdajegowartość
dlanaturalnychargumentówjestliczbąpierwsząikażdąliczbępierwsząmożnawten
sposóbotrzymać(Jones,Sato,Wada,Wiens[1]).
Przypuszczasię,żekażdynierozkładalnywielomianW(X)ocałkowitychwspół-
czynnikach,takiżenieistniejeliczbanaturalnad>1dzielącawszystkiewartości
W(1),W(2),...,przedstawianieskończeniewieleliczbpierwszych.Zostałotoudo-
wodnionejedyniedlawielomianówpierwszegostopnia(patrzrozdz.5).Znanesąza
toprzykładywielomianówdającychwieleliczbpierwszych.Pierwszytakiwielomian
podałGoldbach,którywliściedoEuleraz28września1743r.(Fuss[1],t.I.,s.255)
zauważył,żewielomianX2l19Xl19wśródpierwszych47wartościprzedstawia42
liczbypierwsze,aw1772r.Eulerodkrył,żewielomianX2lX+41przyjmujedla
Xl0,1,...,40wartościpierwsze.Możnateżudowodnić,żedokażdegonaturalnego
NmożnaznaleźćwielomianpostaciX2+a,któryprzedstawiaconajmniejNliczb
pierwszych(Sierpiński[4]).
Niemażadnegowzorupozwalającegonaszybkiewyznaczaniekolejnychliczb
pierwszych,ajesttospowodowanedużąnieregularnościąichrozmieszczenia.Jestsporo
wzorówdającychliczbypierwsze,alesąonewpraktycebezużyteczneimająraczej
charakterciekawostek.ItaknaprzykładW.Sierpiński[3]udowodniłistnienieliczby
rzeczywistejcotejwłasności,żedlanl1,2,...n-takolejnaliczbapierwszajest
równa
[10
2nc]l102n11[102n11c],
aletaliczbacjestzdefiniowanawzorem
cl
Σ
nli
∞
102
pn
n
(przyczympnoznaczan-tąkolejnąliczbępierwszą),awięcwzorutegoniemożnaużyć
dowyznaczanialiczbpierwszychwpraktyce.Liczbamipierwszymizajmiemysiębliżej
wrozdziale5.
WNIOSEK3.JeżeliNi|N2,toodwzorowanie
ψN
1,N2:xmodN2I→xmodNi
jestepimorfizmem(tj.homomorfizmem„na”)pierścieniaZ/N2ZnaZ/NiZ.Przytym
odwzorowanieψN,Njesttożsamością,ajeżeliNi|N2|N3,tozłożenieψN
1,N2◦ψN
2,N3
pokrywasięzψN
1,N3.
Dowód:Nawstępiezauważmy,żeodwzorowanieψN
1,N2jestdobrzeokreślone,to
znaczyxmodNizależywyłącznieodwartościxmodN2,anieodwyborux.Rzeczy-
wiście,zxiy(modN2)wynikaxiy(modNi).Zczęści(i)twierdzeniawynika,że
ψN
1,N2jesthomomorfizmem,apozostałeczęścitezysąoczywiste.
