Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
281.Podstawowepojęcia
liczbya.Z(i)wynika
Ip(n)l1+2Ip(b)lIp(ai)+2Ip(bi),
awięcIp(ai)jestliczbąnieparzystąiwidzimy,żepdzieliai.Zatemkażdydzielnik
pierwszyadzieliaii,zamieniającrolamiaiai,otrzymujemy,żeaiaimajątesame
dzielnikipierwsze.Ponieważobieteliczbysąbezkwadratowe,przetomusząbyćrówne,
awtedyotrzymujemyblbi.
WNIOSEK3.(i)Liczbawymiernanjestk-tąpotęgąpewnejliczbywymiernejwtedyitylko
wtedy,gdydlakażdejliczbypierwszejpmamyk|Ip(n).
(ii)Jeślim,nsąwzględniepierwszymiliczbaminaturalnymi,którychiloczynjest
k-tąpotęgąliczbynaturalnej,tokażdazliczbm,nteżjesttakąpotęgą.Jeślizaśk
jestliczbąnieparzystą,totezatazachodzitakżedlawzględniepierwszychliczbm,n
całkowitych.
(iii)Jeśliprzypewnymnaturalnymkliczbacałkowitanjestk-tąpotęgąpewnej
liczbywymiernej,tojestonak-tąpotęgąliczbycałkowitej.
Dowód:(i)jestkonsekwencjączęści(i)twierdzenia.Byudowodnić(ii),zauważmy,
żejeślipjestliczbąpierwszą,dzielącąjednązliczbm,n,toniemożeonadzielić
drugiej,azatemIp(mn)lIp(m)lubIp(mn)lIp(n)ipozostajeskorzystaćzostat-
niejrównościwczęści(i)twierdzenia.Wprzypadku2łkicałkowitychm,nwystarczy
dodatkowozauważyć,żel1l(l1)k.Wreszcie(iii)wynikaz(i)iuwagi,żeIp(n)≥0
pociągazasobąIp(n)/k≥0.
WNIOSEK4.Dlakażdejliczbypierwszejpinl1,2,...mamy
Ip(n!)l
Σ
kli[
∞
pk].
n
Dowód:Wobec(i)mamy
n
∞
Ip(n!)l
Σ
Ip(k)l
Σ
Σ
1,
kli
jli
αp(k)lj
k≤n
ale
awięc
Σ
k≤n
1lΣ
k≤n
1lΣ
l≤n/pj
1l[
pj]l[
n
pj+i],
n
αp(k)lj
pj"n
płl
Ip(n!)l
Σ
jli
∞
j([
pj]l[
n
pj+i])
n
l
Σ
jli
∞
j[
pj]l
n
Σ
jl2
∞
(jl1)[
pj]
n
