Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Jednoznacznośćrozkładunaczynnikipierwsze
27
(iv)Jeśliv,w/l0sąniezerowymiliczbamiwymiernymi,to
Ip(v+w)≥min{Ip(v),Ip(w)}
(oilev+w/l0),
Ip(vlw)≥min{Ip(v),Ip(w)}
(oilev/lw),
ajeślinadtoIp(v)/lIp(w),towobutychwzorachzachodzirówność.
Dowód:Równości(i)wynikająbezpośredniozdefinicjifunkcjiIp(w).Byudowod-
nić(ii),zauważmy,żejeślidlawszystkichpmamyIp(w)≥0,toliczbawjestcałkowita
jakoiloczynliczbcałkowitych.Jeślizaśwjestcałkowite,tonierównośćIp(w)≥0wy-
nikazwniosku3zpoprzedniegotwierdzenia.Bydowieść(iii),zauważmy,żezwniosku
2wynika,iżnlpαp(n)A,przyczymwrozkładziekanonicznymliczbyAniewystę-
pujeliczbap,azatempniedzieliA.Gdybyśmymielipi+αp(n)|n,topdzieliłobyA,
sprzeczność.
Niecotrudniejudowodnić(iv).Rozpatrzmywpierwprzypadek,gdyobieliczbyv,w
sącałkowite.Wtedypαp(v)|a,pαp(w)|biztwierdzenia1.1(i)otrzymujemy,żeprzy
;lmin{Ip(v),Ip(w)}zachodzipβ|v±w,awięcIp(v±w)≥;.
Wprzypadkuogólnymnapiszmyvla/b,wlc/d(a,b,c,d∈Z,a/l0,c/l0
iv+w/l0,względniev/lw).Wówczasmamy
v±wl
ad±bc
bd
i,korzystającz(i)ijużudowodnionejdlaliczbcałkowitychczęści(iv),otrzymujemy
Ip(v±w)lIp(ad±bc)lIp(bd)
≥min{Ip(a)+Ip(d),Ip(b)lIp(c)}lIp(b)lIp(d)
lmin{Ip(a)lIp(b),Ip(c)lIp(d)}lmin{Ip(v),Ip(w)}.
JeśliIp(v)<Ip(w),toprzedewszystkimmamyIp(v±w)≥Ip(v),zdrugiejzaś
stronymożemynapisać
Ip(v)lIp(v±w∓w)≥min{Ip(v±w),Ip(w)},
aponieważnierównośćIp(v)≥Ip(w)jestwykluczona,przetoIp(v)lIp(v±w).
WNIOSEK1.Jeślia,bsąliczbamicałkowitymi,toadzielibwtedyitylkowtedy,gdy
dlakażdejliczbypierwszejpmamyIp(a)≤Ip(b).
Dowód:Wynikaz(i)i(ii).
Liczbycałkowiten,spełniającedlakażdejliczbypierwszejpwarunekIp(n)≤1,
nazywająsięliczbamibezkwadratowymi.Sątozatemliczby,któreniedzieląsięprzez
żadenkwadratliczbynaturalnej>1.
WNIOSEK2.Każdaliczbanaturalnandasięjednoznacznieprzedstawićwpostacinl
ab2,gdziea,bsąliczbaminaturalnymiiajestliczbąbezkwadratową.
Dowód:Przyjmujączabnajwiększykwadratliczbynaturalnejdzielącynikła-
dącaln/b2,otrzymujemyżądaneprzedstawienie.Przypuśćmyteraz,żemamynl
ab2laib2
izbezkwadratowymia,aiiniechpbędziedowolnymdzielnikiempierwszym
