Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Jednoznacznośćrozkładunaczynnikipierwsze
25
gdziepi≤p2≤...≤priqi≤q2≤...≤q5sąliczbamipierwszymi.Zwniosku4
ztwierdzenia1.2otrzymujemy,żeprzypewnymjliczbapidzieliqj,awięcqjlpi.
Widzimyteraz,żeliczba
N/pilp2···prlqiq2···qjliqj+i···q5
jestmniejszaodNimadwaróżnerozkłady,wbrewwyborowiN.Byudowodnićdrugą
częśćtezytwierdzenia,zauważmy,żejeśli(1.6)jestjedynymrozkłademnnaczynniki
pierwszeorazpjestliczbąpierwszą,dzielącąn,torozkładającilorazn/pnaczynniki
pierwsze,n/plqi···qr(jeślin/pl1,toniemaczegodowodzić),otrzymujemy
nlpqi···qrlpi···pk,
azatemliczbapmusiwystąpićwśródliczbpi.
WieleinnychdowodówtegotwierdzeniamożnaznaleźćwksiążceP.Ribenbo-
ima[2].
Terazmożemyprecyzyjniejsformułowaćwniosek2ztwierdzenia1.3:
WNIOSEK1.Każdąliczbęnaturalnąn>1możnazapisaćjednoznaczniewpostaci
nl
Π
ili
r
p
αi
i,
przyczymrjestilościąróżnychdzielnikówpierwszychliczbyn,pi<p2<...<prsą
liczbamipierwszymi,Iizaśsąliczbaminaturalnymi.
Dowód:Wynikaztwierdzeniaprzezpogrupowaniejednakowychczynnikówpierw-
szych.
WNIOSEK2.Każdąliczbęcałkowitąn/l0,±1możnazapisaćjednoznaczniewpostaci
nlsgnn
Π
ili
r
p
i,
αi
przyczymr≥1,pi<p2<...<prsąliczbamipierwszymi,Iizaśsąliczbami
naturalnymi.
Dowód:Wystarczyzastosowaćpoprzedniwniosekdoliczbyn/sgnnl|n|.
WNIOSEK3.Każdąliczbęcałkowitąn/l0możnazapisaćjednoznaczniewpostaci
nl6Π
p∈P
pαp(n),
przyczym6l±1,Ip(n)∈No.Występującytuiloczynzawierajedynieskończeniewiele
czynnikówróżnychodjedności.
Dowód:Dlanl±1przyjmujemyIp(n)l0dlawszystkichp.Jeślizaśnma
postaćwystępującąwpoprzednimwniosku,todlaplpi(il1,2,...,r)przyjmujemy
Ip(n)lIi,adlapozostałychliczbpierwszychpkładziemyIp(n)l0.Jednoznaczność
przedstawieniawynikabezpośredniozpoprzedniegowniosku.
