Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
1KRZYWEIPOWIERZCHNIE
żeprzyspieszenieciała(jakowektor)maskładowąstycznądotoruiprosto-
padłądoniego,comożnazapisaćwformie
ą
a=˙
uą
T+
u2
R
N.
ą
(1.1.70)
Prędkośćmaoczywiściewyłącznieskładowąstyczną,tj.ą
u=uą
T.Łatwojest
obliczyćterazpotrzebnynamiloczynwektorowy:
ą
u׹
a=uą
T×(˙
uą
T+
u2
R
N)=u3
ą
R
Bj
ą
(1.1.71)
gdyżą
T׹
T=0,aą
T׹
N=ą
B.Wynikastądteżodrazu,że|ą
u׹
a|=u3/R.
Jeślizróżniczkowaćpoczasiewyrażenie(1.1.70),abyotrzymaćpotrzebne
wyrażeniena˙
ą
a,towidać,żepowstaniekilkawyrazów.Jednakżetylkoje-
denznichjestnampotrzebny:tylkoten,któregoiloczynskalarnyzwek-
toremą
Bnieznika.Pozostałeniedadząwkładudolicznikaw(1.1.69).Bę-
dzietotenwyraz,wktórympochodnatrafianawektorą
Nnasamymkońcu
wzoru(1.1.70).Pozostałewektory,czylią
T,
Torazą
ą
˙
N,sąortogonalnedoą
B.
Wefekciez(1.1.69)otrzymujemy:
T=
u3/Rą
(u3/R)2
B·(u2/R˙
N)
ą
=
1
u
B·
ą
N=−
ą
˙
1
u
B·ą
ą
˙
N=−
dą
d5
B
·ą
Nj
(1.1.72)
azatemwyrażeniezdefiniowanewpoprzednimzadaniuwzorem(1.1.27).
Przenoszącpowyżejpochodnąpoczasiezwektoraą
Nnaą
B,wykorzystali-
śmyfaktichortogonalności:
0=
dt
d
[ą
B·ą
N]=
B·ą
ą
˙
N+ą
B·
Nj
ą
˙
(1.1.73)
azamieniającpochodnąpotnapochodnąpo5,związek
dt
d
=
d5
dt
·
d5
d
=u
d5
d
.
(1.1.74)
Popodstawieniu(1.1.58),(1.1.59)oraz(1.1.60)znajdujemyostatecznie:
T=
3cost+13
4cos(t/2)
.
(1.1.75)
Odnotujmynakoniec,żeuzyskanewtymzadaniuwzory(1.1.65)oraz
(1.1.69)dająnammożliwośćznalezieniakrzywiznyitorsjibezkonieczności
wprowadzaniaparametryzacjiunormowanej.
