Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2BADAMYK-POWIERZCHNIEWNWYMIARACH
25
1.2
Badamyk-powierzchniewnwymiarach
Problem1
Zbadamy,czyhiperboloidaeliptycznadanarównaniem
x2/4+y2/9−z2=1
jestpowierzchniąwR3.
Rozwiązanie
(1.2.1)
Zbiórzdefiniowanyrównaniem(1.2.1)przeciętyjakąkolwiekpłaszczyzną
npionową”,czylirównoległądoosiz,stajesięhiperbolą,apłaszczyznąnpo-
ziomą”,czyliz=const–elipsą.Stądnazwa:hiperboloidaeliptyczna.Aby
zbadać,czypowłokatajestpowierzchnią,musimynajpierwzdefiniować,co
rozumiemyprzezk-wymiarowąpowierzchnięwRn.Otóżpojęcietooznacza
podzbiór(zarezerwujemydlaniegosymbolV)przestrzeniRntaki,żewoto-
czeniukażdegojegopunktu(ściślebiorącmówimyoprzecięciuotoczenia
wRnzomawianymzbioremV)stanowionwykrespewnegoodwzorowania.
NaprzykładwR3za2-powierzchnię–atojestwłaśnieprzypadekzniniej-
szegozadania–uznamytakizbiór,żewszędziestanowionwykresktórej-
kolwiekzfunkcji:z(xjy),y(xjz)lubx(yjz).Cowymagapodkreślenia,nie
chodzitutajojednąfunkcjęzdefiniowanądlacałegozbioruV,aleoistnienie
choćjednejznichdlakażdejotwartejiodpowiedniomałejnłatki”przy-
krywającejdanypunktzbioru.Dodatkowożądaćbędziemygładkościtych
funkcji,czyliistnieniaiciągłościwszystkichpochodnychcząstkowych.Jeśli
tenwarunekbędziespełniony,toodpowiedniąpowierzchniętakżenazwiemy
gładką.Wnaszychdalszychrozważaniachzajmowaćsiębędziemywyłącz-
niepowierzchniamigładkimi(późniejpojawiąsięteżnkawałkamigładkie”),
więczałożenietoprzyjmujemywsposóbdomyślny,nawetjeśliniebędzieono
jawniewyartykułowane.
Kiedywięcmożemybyćpewni,żerównaniepostaciF(xjyjz)=0defi-
niujenamlokalnieprzynajmniejjednązfunkcji:z(xjy),y(xjz)lubx(yjz)?
Abyodpowiedziećnatopytanie,najlepiejodwołaćsiędotwierdzeniaofunk-
cjiuwikłanej,znanegoCzytelnikowizrozdziału8drugiejczęścininiejszego
zbioru.OznaczyliśmytamsymbolemXzmienneniezależne(niechnaprzy-
kładbędątozmiennexiy),asymbolemYzmiennezależne(np.z)istwier-
dziliśmy,żejeśliFjestklasyC1,todlaistnieniafunkcjiY(X)(czyliwnaszym
