Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1ZNAJDUJEMYKRZYWIZNĘISKRĘCENIEKRZYWYCH
23
skądwynika,że
a⊥:=|ą
a⊥|=
|ą
u׹
u
a⊥|
=
|ą
u׹
u
a|
.
Posługującsięwzorem(1.1.2),możemyteraznapisać:
κ=
R
1
=
a⊥
u2
=
|ą
u׹
u3
a|
.
(1.1.64)
(1.1.65)
Wektoryą
uorazą
adanesąwzorami(1.1.58)i(1.1.59),więcabyznaleźć
krzywiznę,najpierwobliczamyiloczynwektorowy
ą
u׹
a=
9
8
[2sintcos(t/2)−costsin(t/2)j−2costcos(t/2)−sintsin(t/2)j2]j
(1.1.66)
anastępnie
|ą
u|=
2√2
3
√cost+3j
|ą
u׹
a|=
9
8J4cos2(t/2)+sin2(t/2)+4
=
8√2
9
√3cost+13.
Terazzastosowaćjużmożemywzór(1.1.65),otrzymując
κ=
2
3
·J3cost+13
(cost+3)3
.
(1.1.67)
(1.1.68)
Zauważmy,żewyrażenietojestzawszedodatnie,azatemkrzywiznanigdzie
nieznika(krzywanigdzienienprostujesię”).Wszczególnościrozważmy
punktowspółrzędnychx=3orazy=z=0.Jesttopunkt,przezktóry
krzywaVivianiegoprzechodzidlat=0,t=2πit=4π.Jaksięwydajezry-
sunku,krzywiznapowinnawówczasodpowiadaćkrzywiźniekuli,czyliR=3
(κ=1/3).Podstawiającpodtwartości0,2πi4πdowzoru(1.1.68),łatwo
przekonaćsię,żefaktycznieotrzymujemyκ=1/3.
Terazzajmiemysięskręceniemkrzywej.WzórnaTanalogicznydo(1.1.65)
mapostać
T=
(ą
u׹
|ą
u׹
a)·˙
a|2
a
ą
.
(1.1.69)
Zauważmy,żeliczniktegowyrażeniajestwistocierozpatrywanymwcze-
śniejwyznacznikiem(1.1.61),azatemnicdziwnego,żestanowionomiarę
przestrzennegocharakterukrzywej.Abyjeuzasadnić,zauważmynajpierw,
