Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
PODSTAWYTEORIIAPROKSYMACJIWZADANIACH
następująco
"f"p=(/
Ω
|f(t)|pdµ(t))
p
1
▷
Formalnierzeczbiorąc,elementamiprzestrzeni
Lp
(Ω
jµ
)sąklasyabstrakcji
funkcji,aniesamefunkcje,alewpraktycełatwiejjestdziałaćnasamych
funkcjach,pamiętającotym,żedwiefunkcjesązesobąutożsamiane,gdysą
równeprawiewszędzie.Podobniejakwcześniejosobnegotraktowaniawymaga
przypadek
p
=
∞
.Wtejsytuacjirozważamyfunkcje
f
:Ω
→K
,które
spełniająwarunek:istnieje
C>
0takie,że
|f
(
t
)
|<C
dlaprawiewszystkich
t∈
Ω.Infimumztakichliczb
C>
0,któremajątęwłasność,jestnormą
funkcji
f
ioznaczamyjąjako
"f"∞
.Dlawszystkich1
<p<∞
przestrzeń
Lp
(Ω
jµ
)jestprzestrzeniąBanacha.JesttoprzestrzeńHilbertawyłączniedla
p=2iwówczasiloczynskalarnyfunkcjifjg∈L2(Ωjµ)danyjestjako
(fjg⟩=/
Ω
f(t)g(t)dµ(t)▷
Ciągoweprzestrzenie
ℓp
możnatraktowaćjakoprzypadekszczególnyprze-
strzenifunkcyjnychLp(Ωjµ),biorącΩ=Nzmiarąliczącą.
Jeżeli
K
jestzwartąprzestrzeniąHausdorfa,toprzez
C
(
K
)oznaczamyzbiór
funkcjiciągłych
f
:
K→K
.Wtymzbiorzewprowadzamynormęsupremum
"·"∞
,czyli
"f"∞
=
supt∈K|f
(
t
)
|
.Skorofunkcjaciągłaosiągaswojekresyna
zbiorzezwartym,toowesupremumjestrównemaksimum.Wprzeciwieństwie
doprzypadkufunkcji
Lp
,tymrazemoperujemywięcfunkcjami,anieich
klasamiabstrakcji.Szczególnieczęstowtymzbiorze,przestrzeń
C
(
K
)pojawia
sięwsytuacji,wktórej
K
=[
ajb
]jestpewnymodcinkiemnaosirzeczywistej
dlaliczb
a<b
.Pisząc
C
[
ajb
],zawszebędziemymiećnamyśliwłaśnietaką
przestrzeń.Kiedybędziemymówićofunkcjachklasy
Cn
naprzedziale[
ajb
],
wówczaswkrańcachprzedziałurozważamypochodnejednostronne(podobnie
dlafunkcjiklasy
C∞
).Wprzypadkach,wktórychistotnejestwyróżnienie
zbioruK,normęsupremumbędziemyoznaczaćrównieżjako"·"K.
Wszystkiepowyżejwprowadzoneprzestrzeniemożnarozpatrywaćzarówno
wprzypadkurzeczywistym,jakizespolonym.Jeżeliwzadaniuniejestto
sprecyzowane,tonależyrozumieć,żeobowiązujeonowobuprzypadkach.Jeżeli
normawdanejprzestrzeniniebędziesprecyzowana,tozakładamy,żechodzi
ostandardowąnormęwdanejprzestrzeni(takjakpowyżej).Dlauproszczenia
zapisu,będziemyczęstonormęoznaczaćpoprostujako
"·"
,gdybędziejasne,
októrejnormiejestmowa.Dotyczytorównieżsytuacjinormyoperatorowej.
Oznaczatowszczególności,żewjednymzadaniulubrozwiązaniusymbolem
"·"
możebyćoznaczonazarównonormawektorówzdanejprzestrzeni,jak
ifunkcjonałównaniejdziałających.
Ostatniąklasycznąprzestrzenią,doktórejbędziemysięczęstoodwoływać
wkolejnychrozdziałachksiążki,jestprzestrzeńrzeczywistych,okresowych
