Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16Okruchymatematyki
Rys.2
A1iA2orazpromieniud.Aletaczęśćwspólnajestzawartawkoleośrod-
kuOipromieniur=1
2d√3<d(rys.2).
Otrzymaliśmywtensposóbwstępneoszacowaniepromieniaposzu-
kiwanegoprzeznaskoła—należyondoprzedziału[
1
3d√3,1
2d√3].
Przejdziemyterazdorozpatrzeniapłaskichfigurwypukłychnapłasz-
czyźnieeuklidesowej.Przypomnijmy,żefiguręnazywamywypukłą,gdy
każdedwajejpunktymożnapołączyćodcinkiemzawartymwtejfigurze.
Wznalezieniuodpowiedzinapytaniepostawionenapoczątkuartykułu
pomocnesątwierdzeniaztzw.geometriikombinatorycznejdotyczącefi-
gurwypukłych[2].
Pierwszeztychtwierdzeńodkryłw1913r.E.Helly,natomiastporaz
pierwszyopublikowałjewrazzdowodemw1921r.J.Radon.
TWIERDZENIEHELLY’EGO(Iwersja).Jeżelikażdetrzyspośróddanychfigur
wypukłychf1,f2,...,fn(n>3)mająpunktwspólny,towszystkiete
figurymająpunktwspólny,czyli
f1∩···∩fn/=∅.
DOWÓD.Wprzypadkun=4problemsprowadzasiędorozważe-
niatrójkątów(zbrzegiem)owierzchołkachnależącychdozbiorucztero-
elementowego{A,B,C,D}—dladowolnychczterechfigurwybieramy
pojednympunkciezczterechprzecięć„potrzyfigury”.Alboczworokąt
ABCDjestwypukłyiwtedypunktOprzecięciaprzekątnychnależydo
wszystkichczterechtrójkątów,albonieiwtedynaprzykładDnależydo
trójkątaABC,azatemnależydowszystkichtrójkątów(rys.3i4).
