Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
IMMUNIZACJAIOPTYMALIZACJAPORTFELAOBLIGACJI…
41
gdzie
μ
f
−współczynnikdryfu(drift),
σ
f
−współczynnikzmienności
(volatility),przyczym
μ
f
,
σ
f
sąstałymi,
W
f
(
τ
)
−standardowyprocessto-
chastycznyWienera,tj.procesgaussowskioprzyrostachniezależnychoraz
oparametrach
W~
f
N
(
0
,
τ
).
Ponadtozakładamy,żeprocesy
W
f
(
τ
)
,
W
l
(
τ
)
(
f
,
l
=K
1
,
,
m
;
f
≠
l
)
sąwzajemnieniezależne.Zformalnegopunktuwidzenia,równanie(18)określa
więcróżniczkęstochastyczną
d
F
(
τ
)
wektorowegoprocesu
F
=
[
FK
1
,
,
F
m
]
onieskorelowanychwspółrzędnych.Zlematu
Iˆsformułowanegodlawekto-
t
o
rowychprocesówstochastycznychmożnawykazaćprawdziwośćnastępującego
lematu[16]:
Lemat1
Załóżmy,żeróżniczkastochastyczna
d
F
(
τ
)
wektoranieskorelowanych
czynnikówwspólnychdanajestwzorem(18).Wówczas,różniczkastochas-
tyczna
Iˆwartościbieżącej
t
o
P
(F
)
obligacjiwyrażasięwzorem
dP
(
F
)
=
dP
(
F
1
,
K
,
F
m
)
=
∑
f
m
=
1
∂
∂
F
P
f
dF
f
+
1
2
∑
f
m
=
1
∂
∂
F
2
P
f
2
(
dF
f
)
2
.
Dzielącobiestronyrównania(19)przezP,otrzymamy
dP
P
=
∑
f
m
=
1
⎡
⎢
⎢
⎣
∂
∂
F
P
f
P
1
⎤
⎥
⎥
⎦
dF
f
+
1
2
∑
f
m
=
1
⎡
⎢
⎢
⎣
∂
∂
F
2
P
f
2
P
1
⎤
⎥
⎥
⎦
(
dF
f
)
2
.
(19)
(20)
Wpowyższymwzorzewyrażeniewystępującewpierwszymnawiasie
prostokątnympoprzedzoneznakiem„−”definiujemyjakoczynnikową
okresowość
D
f
obligacji,natomiast
wyrażenie
w
drugimnawiasie
prostokątnym,pomnożoneprzez1/2−określamyjakoczynnikowąwypukłość
V.Mamywięc
f
D
f
=
Δ
−
∂
∂
F
P
f
P
1
,
V
f
=
Δ
1
2
∂
∂
F
2
P
f
2
1
P
,
∀
f
=
1
,
K
,
m
.
(21)
Zatem,z(20)i(21)otrzymamy
dP
P
=
−
∑
f
m
=
1
D
f
dF
f
+
∑
f
m
=
1
V
f
(
dF
f
)
2
,
(22)
