Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
38
AndrzejJakubowski
Zasóbzmiennościwspólnej
h
t
2
,
będącysumąkwadratówwspółczyn-
nikówkowariancji
α
t
f
wszystkichczynnikówwspólnych
F
f
(
f=
1
,...,
m
)
zezmienną
r,jestwięcpewnąmiarąokreślającą,jakaczęśćcałkowitej
t
zmiennościzmiennej
rjestwyjaśnianaprzezczynnikiwspólne.Wynikato
t
stąd,żecałkowitazmiennośćtejzmiennejreprezentowanajestprzezjej
wariancję
Var
(
r
t
).
Podobnie,wartość
α
t
2
reprezentujezasóbzmienności
swoistejzmiennej
r−wyjaśnianejprzezczynnikswoisty
t
ε
t
(
t=
1
,...,
T
).
Biorącpoduwagęwszystkieprzedstawionepowyżejzałożeniacodoana-
lizowanegoliniowegomodeluczynnikowego(9)możnawykazać,żezachodzi
[17]
R
=
AA
T
+
BB
T
=
AA
T
+
B
2
(13)
Powyższerównaniestanowireprezentacjęmacierzowąmodeluczynni-
kowego(9).Zrównaniategowynika,żezadanieanalizyczynnikowejspro-
wadzasięwzasadziedorozłożeniamacierzykowariancjizmiennych
r
t
(
t=
1
,...,
T
)
nadwieaddytywneskładowe.Pierwszaztychskładowychzależy
wyłącznieodładunkówczynnikówwspólnych
α
t
f
,natomiastdrugaod
ładunkówczynnikówswoistych
α
t
.Wtymteżsensierównania(9)i(13)są
sobierównoważne.
Zauważmy,żemającdaneładunki
α
t
f
czynnikówwspólnychmożemy
łatwo−napodstawiewzorów(11),(12)−wyznaczyćładunki
α
t
czynników
swoistych,atymsamymmacierzBtychczynników.Macierztajestmacierzą
diagonalną−najejprzekątnejgłównejwystarczywięcpodstawićwartości
α
t
=
σ
t
2
−
h
t
2
;
t
=
1
,...,
T
,
cowynikabezpośredniozewzoru(12)orazz
założenia,żeprzyjmujemy
α
t
>
0
.
Takwięc,wyznaczeniemacierzyładunków
czynnikowychA(owymiarze
T×
m
)spełniającejrównanie(13)mapodsta-
woweznaczeniedlarozwiązaniarozpatrywanegoproblemu.
NapodstawieznajomościmacierzyA,znajomościwyjściowejmacierzy
kowariancjiRorazprzypewnychdodatkowychzałożeniachmożnazkolei
wyprowadzićnastępującązależnośćokreślającąwartośćmacierzyczynników
wspólnych:
F
=
X
R
−
1
A
.MającwyznaczonąmacierzForazzdefiniowany
modelczynnikowy(10)(tj.ładunkiczynnikówwspólnychiswoistych
określone)możemy−bezpośrednioztegomodelu−wyznaczyćwartości
ε
τ
t
macierzyczynnikówswoistychE.Stanowitoetapkońcowyanalizyczynni-
kowejrozpatrywanegozagadnienia.
