Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§2.1.Nieformalnewprowadzenie
85
gdziex,yiznależądoR.Wcodziennejpraktycerówność(Ł)
mogłabyrównieżbyćzapisanajako
(x+y)+z=x+(y+z)
∀x∀y∀z,
lub
(x+y)+z=x+(y+z)
∀x,y,z∈R,
lub
(x+y)+z=x+(y+z)
dlawszystkichx,y,z∈R.
Częstobędziemymoglidowodzićzdańpostaci∀np(n),gdzie
n∈Nzapomocąbardzoważnejmetody,mianowicieindukcji
matematycznej,którąopiszemywrozdziale4.
Zdaniezłożonepostaci∀xp(x)będziefałszywe,jeślijedno
(lubwięcej)zdańp(x)będziefałszywe.Zatem,abywykazać,że
takiezdaniezłożonejestfałszywe,wystarczypokazać,żejedno
zjegozdańskładowychjestfałszywe.Innymisłowy,wystar-
czypokazaćjedenprzykładzaprzeczającyzdaniuogólnemu,tzw.
kontrprzykład.
HipotezaGoldbachaniezostaładotychczasrozstrzygnięta,
gdyżnikomunieudałosiępokazać,żekażdaliczbaparzysta
większaod4jestsumądwóchliczbpierwszych,aniteżnikomu
nieudałosięznaleźćkontrprzykładu.Hipotezatazostałaspraw-
dzonadlabardzowieluliczbparzystych.
PRZYKŁAD12
(a)Liczba2jestkontrprzykłademnastwierdzeniemówiące,
że„wszystkieliczbypierwszesąnieparzyste”.
(b)Liczba7jestkontrprzykłademnastwierdzenie„każdado-
datnialiczbacałkowitajestsumątrzechkwadratówliczbcałko-
witych”.Możnajednakdowieść,żekażdadodatnialiczbacałko-
witajestsumączterechkwadratówliczbcałkowitych,naprzykład
1=12+02+02+02,7=22+12+12+12,73=82+32+02+02.
(c)Wartośćliczbyn=3jestkontrprzykłademnastwierdzenie
„n2≤2ndlawszystkichn∈N”,któremożemyzapisaćjako
„n2≤2n∀n∈N”.Niemainnychkontrprzykładów,cowykaza-
liśmyjużwćwiczeniu1(c)w§1.6.
(d)GeraldFordjestkontrprzykłademnastwierdzenie,że
„wszyscyprezydenciStanówZjednoczonychbylipraworęczni”.
Istniejątrzyinnekontrprzykłady.
Jeżelimamydanezdanieogólne,któregowartościlogicznejnie
znamy,toczęstojedynąstrategiąjestodgadnięcietejwartości.
Jeślizgadniemy,żetozdaniejestprawdziwe,tonależyprzeana-
lizowaćtęsytuację,byzobaczyć,dlaczegozawszewydajesięono
