Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
6
1.Liczbyzespolone
Widzimy,żeotrzymanywynikjestzgodnyzklasycznymiloczynemliczbrzeczy-
wistych.
Podsumowując,możemypowiedzieć,żeodwzorowanieφ:x→(x,0)prze-
kształcająceliczbęrzeczywistąxnaliczbęzespoloną(x,0)zachowujedziałania
dodawaniaimnożenia:Ponadtoliczbarzeczywista0(elementneutralnydoda-
waniawR)przechodziwtymodwzorowaniunaliczbęzespoloną(0,0)(element
neutralnydodawaniawC),aliczbarzeczywista1(elementneutralnymnożenia
wR)—naliczbęzespoloną(1,0)(elementneutralnymnożeniawC).
Odtejporybędziemyzamiennieużywaćzapisuaoraz(a,0),wobuprzypad-
kachmającnamyśliliczbęrzeczywistąa.
Liczbyurojone
Potymwszystkim,copowiedzieliśmyozanurzeniuzbioruliczbrzeczywistych
wzbiórliczbzespolonych,przyjrzyjmysiędrugiejosiukładu,czyliliczbompostaci
(0,y).Każdątakąliczbębędziemyodtejporynazywaćliczbąurojoną.Wśród
wszystkichliczburojonychwyróżniamyliczbę(0,1),któraodpowiadawektorowi
jednostkowemuosiOY.
Definicja1.7.Liczbę(0,1)nazywamyjednostkąurojonąioznaczamyjakoi.
Napoczątkumówiliśmyoposzukiwaniachliczby,którejkwadratbyłbyrówny
−1—właśniejąznaleźliśmy.Mnożącjednostkęurojonąprzezsiebie,otrzymujemy
następującązależność:
i2=(0,1)·(0,1)=(0·0−1·1,0·1+1·0)=(−1,0)=−1.
Zauważmyteż,żekażdąliczbęurojoną(0,y)możemyzapisaćwpostaciiloczynu
liczbyrzeczywistejyijednostkiurojonej:
y·i=(y,0)·(0,1)=(y·0−0·1,y·1+0·0)=(0,y).
Matoswojeuzasadnieniegeometryczne:każdaliczbaurojonamożebyćinter-
pretowanajakowektornaosiOYzaczepionywpoczątkuukładuwspółrzędnych.
Jednostkaurojonajestwersoremtejosi.
NazwęliczbaurojonawprowadziłwXVIIwiekufrancuskimatematykifilo-
zofRenéDescartes,znanyteżpodimieniemKartezjusz.Kartezjuszwsławiłsię
wmatematycegłównieswoimibadaniamizpodstawgeometriianalitycznej.To
odjegoimieniapochodzinazwankartezjańskiukładwspółrzędnych”.
Postaćalgebraiczna,częśćrzeczywistaiurojona,sprzężenie
Załóżmy,żez=(x,y)jestliczbązespoloną.Możemyjązapisaćwpostaci
(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(y,0)·(0,1)=x+yi.
Dalejzobaczymy,żepostaćtajestszaleniewygodna,zwłaszczaprzywykonywaniu
działańmnożeniaidzielenia.
