Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4
1.Liczbyzespolone
Zacznijmyodwłasności7.Mamywykazać,że(x,y)·(1,0)=(x,y).Wykonaj-
mystosowneobliczenia:
(x,y)·(1,0)=(x·1−y·0,x·0+y·1)=(x,y).
Abyudowodnićwłasność8,musimy—dladanejliczbyzespolonejz=(x,y)—
wskazaćtakąliczbęw,dlaktórejz·w=(1,0).Przyjmijmy
w=(
x2+y2
x
,
x2+y2).
−y
Mamywtedy
z·w=(x,y)·(
x2+y2
x
,
x2+y2)
−y
=(x
x2+y2
x
−y
x2+y2
−y
,x
x2+y2
−y
+y
x2+y2)=(1,0).
x
Wpowyższymtwierdzeniuwartozwrócićuwagęnawłasności3,4,7i8.Opi-
sująonespecjalnąrolę,jakąwzbiorzeCpełniądwaelementy:
(0,0)—elementneutralnydodawaniawzbiorzeC(odpowiedniknzwykłego”zera
wzbiorzeliczbrzeczywistych),
(1,0)—elementneutralnymnożeniawzbiorzeC(odpowiedniknzwykłej”jedynki
wzbiorzeliczbrzeczywistych).
Potęgowanieliczbzespolonych
Definicja1.5.Potęgęcałkowitąliczbyzespolonejokreślamywnastępujący
sposób:
z0=1
oraz
zn=zzn11
dlan>0.
Jeżelin>0orazzjestróżneod(0,0),tookreślamy
z1n=
zn
1
.
Walgebrzeabstrakcyjnejkażdyzbiórzdziałaniamidodawaniaimnożenia
spełniającymiwarunkiokreślonewtwierdzeniu1.1(niezależnieodtego,jakte
działaniasązdefiniowane)orazdwomawyróżnionymielementami(pełniącymiro-
lęzeraijedynki)nazywamyciałem.Zbiórwszystkichliczbwymiernychzdzia-
łaniamidodawaniaimnożeniajestciałem.Ciałemjestrównieżzbiórwszystkich
liczbrzeczywistychztymisamymidziałaniami,atakżezbiórliczbzespolonychC,
oczymmówiąwłasności1–9wtwierdzeniu1.1.
