Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Liczbyzespolone—podstawowepojęcia
Dodawanieimnożenieliczbzespolonych
3
Definicja1.4.WzbiorzeCwszystkichliczbzespolonychokreślamydziałania
dodawaniaimnożeniawnastępującysposób:
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2),
(x1,y1)·(x2,y2)=(x1·x2−y1·y2,x1·y2+x2·y1).
Wdalszejczęściksiążkinaogółbędziemypomijaćznakn·”jakosymbolmno-
żenia.
Dodawanieliczbzespolonychmanaturalnąinterpretacjęgeometrycznąjako
dodawaniewektorów(p.rys.1.2)
Rys.1.2.Geometrycznainterpretacjadodawania
liczbzespolonych
Definicjailoczynuwyglądaznaczniebardziejsztucznie.Wdalszejczęściksiąż-
kiprzekonamysię,żewrzeczywistościmnożenieliczbzespolonych,określonejak
powyżej,jestzdefiniowanebardzonrozsądnie”.Narazieprzytoczmykilkawłasno-
ścidziałańdodawaniaimnożeniawzbiorzeliczbzespolonych.
Twierdzenie1.1.Dodawanieimnożenieliczbzespolonychmająnastępujące
własności:
1)Dodawaniejestprzemienne:z1+z2=z2+z1.
2)Dodawaniejestłączne:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
3)Liczba(0,0)jestelementemneutralnymdodawania:z+(0,0)=(0,0)+z=z.
4)Dlakażdejliczbyz∈Cistniejedokładniejednaliczbaw∈C,takażez+w=
(0,0).
5)Mnożeniejestprzemienne:z·w=w·z.
6)Mnożeniejestłączne:(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3).
7)Liczba(1,0)jestelementemneutralnymmnożenia:z·(1,0)=(1,0)·z=z.
8)Dlakażdejróżnejod(0,0)liczbyz∈Cistniejedokładniejednaliczbaw∈C,
takażez·w=(1,0).
9)Mnożeniejestrozdzielnewzględemdodawania:(z1+z2)·z3=z1·z3+z2·z3.
Dowód.Udowodnimywłasności7oraz8.Dowódpozostałychwłasnościpozosta-
wiamyjakoćwiczenie.
