Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Podzielność,liczbypierwsze
19
WieleinnychdowodówpowyższegotwierdzeniamożnaznaleźćwksiązkachP.Ri-
benboima[1]iautora(Narkiewicz[4]).
LiczbyFn,występującewtrzecimdowodzietwierdzenia1.4,nazywająsięliczbami
Fermata.Mająonezastosowaniewelementarnejgeometrii:jeślipjestliczbąpierwszą,
tomożnaskonstruowaćp-kątforemnyprzyużyciucyrklailiniałuwtedyitylkowtedy,
gdypjestliczbąpierwsząFermata(twierdzenieGaussa–Wantzela).Nietrudnospraw-
dzić,żeliczbyFil5,F2l17,F3l257iF4l65537sąliczbamipierwszymi.
P.Fermattwierdziłw1640r.,żeliczbyFnsąpierwszeprzykażdymn.Takjednaknie
jest,jużEulerbowiemzauważył,żeF5l4294967297l641·6700417,anastępnie
pokazano,żeliczbyFnprzynl6,7,...,30sązłożone.Itaknaprzykład
F6l18446744073709551617l274177·67280421310721,
aF7masiedemnastocyfrowydzielnikpierwszy.Metodęsprawdzania,czyzadanaliczba
Fermatajestpierwsza,podałw1877r.T.P´
epin:liczbamlFnjestpierwszawtedy
itylkowtedy,gdydzieli3(mli)/2+1(patrznp.Sierpiński[4],s.347).Nieznamyżadnej
liczbypierwszejFermatawiększejodF4,aichbadanienastręczapoważnetrudnościze
względunaichwielkość.Mimoiżwiemy,żeliczbaFi2jestzłożona,gdyżdzielisię
przez114689,tochociażznamypięćjejdzielnikówpierwszych,niepotrafimyznaleźć
jejpełnegorozkładunaczynnikipierwsze.NajwiększąliczbąFermata,októrejwiemy,
żejestzłożona,jestF382447.Wszechświatjestzbytmały,bywypisaćwszystkiecyfryjej
rozwinięciadziesiętnego.
5.MetodęużytąwdowodzieIItwierdzenia1.4dasięzastosowaćtakżewdowodzie
następującego,mocniejszegorezultatu:
TWIERDZENIE1.5(Euler).Jeżelipil2<p2<...jestciągiemzłożonymzewszystkich
liczbpierwszych,toszereg
Σ
nli
∞
pn
1
jestrozbieżny.
Dowód:DlanaturalnychNmamy
nli(1l
Π
N
pn)
1
li
l
nli(1+
Π
N
pn
1
+
p2
1
n
+...)≥Σ
m≤pN
m
1
,
gdyżwniosek2ztwierdzenia1.3pokazuje,żekażdaliczbam≤pNjestiloczynem
potęgliczbpierwszychnieprzekraczającychpN.Zrozbieżnościszereguharmonicznego
itwierdzenia1.4wynika,żedladostateczniedużychNprawastronatejnierówności
możebyćdowolnieduża,azatemiloczynnieskończony
nli(1l
Π
∞
pn)
1
li
(1.3)
jestrozbieżny.Pozostajezauważyć,żezbieżnośćszereguΣ
∞
nli1/pnpociągnęłabyza
sobązbieżnośćiloczynu(1.3).
