Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
181.Podstawowepojęcia
Przyjmijmy,żezbiór{pi,p2,...,pn}jestzbioremwszystkichliczbpierwszych.Korzy-
stajączwzorunasumępostępugeometrycznego,otrzymujemydlax>1
kli(1l
Π
n
px
1
k)
li
l
Π
kli
n
Σ
jlo
∞
p
1
jx
k
l
j1lo
Σ
∞
···
jnlo
Σ
∞
(p
j1
i···p
1
n)x
jn
≥
Σ
mli
∞
mx
1
,
(1.2)
gdyżwobecwniosku2ztwierdzenia1.3każdaliczbanaturalnam>1dasięprzedstawić
wpostaciiloczynupotęgliczbpierwszych.
Niech
Il
kli(1l
Π
n
pk)
1
li
iniechTbędzieliczbąnaturalnątakdobraną,byzachodziłanierówność
Σ
mli
T
m
1
>I.
Jesttomożliwezewzględunarozbieżnośćszereguharmonicznego.
Korzystającz(1.2),otrzymujemyteraz
Illim
x→i
Π
kli(1l
n
px
1
k)
li
≥limsup
x→i
Σ
mli
∞
mx
1
≥limsup
x→i
Σ
mli
T
mx
1
l
Σ
mli
T
m
1
>I,
cojestjawnąsprzecznością.
DowódIII(C.Goldbach).LiczbyFnl22
n+1sąprzynl1,2,...większeod
jedności,azatemzwniosku1ztwierdzenia1.3wynika,żekażdaznichmadzielnik
pierwszy.NiechqnbędziejednymzdzielnikówpierwszychliczbyFn.Pokażemy,że
liczbyqi,q2,...sąwszystkieróżne,atodanamnatychmiastnieskończonośćzbioru
liczbpierwszych.Przypuśćmy,żedlapewnychm<nmamyqmlqn.Ponieważprzy
odpowiednima∈Nmamy
22
m
laqml1,
azatem
Fnl2
2n+1l(22m)2n1m+1l(aq
ml1)2
n1m
+1.
Stosującdopotęgi(aqml1)2
n1mwzórdwumianowyNewtona,widzimy,żewszystkiejego
składnikipozaostatnimdzieląsięprzezqm,aostatniskładnikjestrówny(l1)2
n1ml1.
ZatemprzyodpowiednimnaturalnymbmożemynapisaćFnlbqm+2lbqn+2,
aponieważqn|Fn,przetoztwierdzenia1.1(i)wynikapodzielnośćliczby2przezqn,
awięcqnl2.Toniejestjednakżemożliwe,gdyżqnjestdzielnikiemnieparzystej
liczbyFn.
Najprostszy—jaksięwydaje—jestnastępującydowódpodawanynawykładach
przezC.Hermite’a:
DowódIV:Oznaczmyprzezqnnajmniejszydzielnikpierwszyliczbyn!+1.Ponieważ
n!+1dajeresztę1zdzieleniaprzezkażdąliczbępierwsząp≤n,zatemqn>n,awięc
limn→∞qnl∞.
