Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Podzielność,liczbypierwsze
21
liczbyai.TodajeD≤d.Zdrugiejstrony,zd|aiiztwierdzenia1.1(i),(ii)wynika,iż
każdyelementIdzielisięprzezd,cowszczególnościprowadzidod|D.Korzystając
ztwierdzenia1.1(v),otrzymujemyzatemdl±D,aponieważdiDsąliczbami
naturalnymi,przetodlD.
Jakoszczególnyprzypadek(kl2,(ai,a2)l1)tegotwierdzeniaotrzymujemy
ważnywniosek:
WNIOSEK1.Jeśliliczbycałkowitea,bsąwzględniepierwsze,toistniejerozwiązanie
równania
ax+byl1
wliczbachcałkowitych.
WNIOSEK2.Jeślia,b,csąliczbamicałkowitymi,(a,b)l1orazadzieliiloczynbc,
toadzielic.
Dowód:Korzystajączpoprzedniegowniosku,możemynapisaćax+byl1przy
odpowiednichx,y∈Z.Wtedyadzieliacx+bcylc.
WNIOSEK3.Jeśliliczbaajestwzględniepierwszazkażdązliczbai,a2,...,an,tojest
teżwzględniepierwszazichiloczynem.
Dowód:Gdybytakniebyło,wtedyistniałabyliczbab>1dzielącazarównoa,jak
iiloczynaia2···an.Pokażemyprzezindukcję,żebdzieliak···andlakl1,2,...,n.
Dlakl1jesttooczywiste,ajeślib|ak···an,toponieważbniemożedzielićak,
bowówczasliczbyakiamiałybywspólnydzielnikwiększyod1,zatemzwniosku2
wynika,żebdzieliiloczynak+i···an.Ostatecznieprzyklnotrzymujemyb|an,co
niejestmożliwe.
Wniosektenmożnateżudowodnićwbardziejrachunkowysposób:
Innydowódwniosku3:Zwniosku1wynikaistnienieliczbcałkowitychxi,yitakich,
żedlail1,2,...,nzachodząrównościaxi+aiyil1,awięci
aiyil1laxi.
Mnożącteostatnierównościstronami,otrzymamy
aia2···an·yi···ynl(1laxi)···(1laxn)l1+Aa,
gdzieAjestpewnąliczbącałkowitą.Jeśliliczbanaturalnabdzielizarównoa,jak
iaia2···an,todzielilewąstronęostatniejrówności,awięcmusidzielićiprawą,co
jestwszakżemożliwejedyniewprzypadkubl1.
WNIOSEK4.Jeśliliczbyai,...,an∈Zsąparamiwzględniepierwszeiwszystkiedzielą
liczbęa,toiloczynaia2...andzielia.
Dowód:Pokażemyprzezindukcję,żedlakl1,2,...,niloczynaia2···akdzieli
a.Wprzypadkukl1tojestjasne,przyjmijmywięc,żedlapewnegok≥1mamy
aia2···ak|a.Wtedy,przyodpowiedniejliczbiecałkowitejb,liczbaak+idzieliiloczyn
