Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział
1
PODSTAWOWEPOJĘCIA
1.1.Podzielność,liczbypierwsze
1.Jednymznajważniejszychpojęć,którymizajmujesięteorialiczb,jestpodzielność.
Mówimy,żeliczbacałkowitam/l0dzieliliczbęcałkowitąa(lubteż,żeliczbaajest
podzielnaprzezm),jeżeliistniejetakaliczbacałkowitan,dlaktórejmnla,tojest
gdyiloraza/mjestliczbącałkowitą.Mówimyteżwówczas,żeajestwielokrotnością
m.Zapisujemytenfaktnastępująco:m|a,ajeśliliczbamniedzielia,topiszemymła.
Każdaliczbanaturalnan>1maprzynajmniejdwadzielnikinaturalne—liczby1
in.Jeśliniemainnych,tomówimy,żenjestliczbąpierwszą.Zbiórwszystkichliczb
pierwszychbędziemyoznaczaliprzezP.Liczbynaturalne,większeod1,któreniesą
liczbamipierwszymi,nazywamyliczbamizłożonymi.Liczby2,3,5,7,11,257,65537
sąwięcliczbamipierwszymi,aliczby9,21,35,9999999—liczbamizłożonymi.Liczby
1niezaliczamyanidoliczbpierwszych,anidoliczbzłożonych.
Zdefinicjipodzielnościnietrudnowyprowadzićnajprostszewłasnościtegopojęcia:
TWIERDZENIE1.1.(i)Jeżelim|aim|b,tom|a+bim|alb.
(ii)Jeżelim|aia|n,tom|n.
(iii)Jeżelim|aib∈Z,tom|ab.
(iv)Jeżelia|borazb/l0,to|a|≤|b|.
(v)Jeżelia|bib|atoblalubblla.
Dowód:Jeżelimdzielizarównoa,jakib,toistniejąliczbycałkowiteai,bi,speł-
niającealmai,blmbi,atodajea±bl(ai±bi)m,dowodząc(i).Bydowieść
(ii),napiszmyalmai,nlani(ai,ni∈Z)izauważmy,żewówczasnlm(aini).
Teraz(iii)wynikazewzględunaa|abi(ii).Zkoleidladowodu(iv)zauważmy,że
za|bwynikacałkowitośćilorazub/a,azatem,wobecb/l0,musimymieć|b/a|≥1.
Wreszcie(v)wynikaz(iv)izuwagi,żejeżeliaibsąliczbamirzeczywistymiotej
samejwartościbezwzględnej,toblalubblla.
