Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
141.Podstawowepojęcia
TWIERDZENIE1.2(dzieleniezresztą).(i)Jeślia,b∈Zib/l0,toistniejąliczby
całkowiteq,r,dlaktórych
albq+r,
0≤r<|b|.
Przytymbdzieliawtedyitylkowtedy,gdyrl0.
Ponadtoistniejąliczbycałkowites,tspełniające
|t|≤
|b|
2
.
(ii)Liczbyqirw(i)sąjednoznaczniewyznaczoneprzezliczbya,b.
albs+t,
Dowód:(i)Zauważmy,żewszystkieodstępypomiędzykolejnymicałkowitymiwie-
lokrotnościamiliczbybnaprostejrzeczywistejsąrówne|b|.Jeślizatembqjestnaj-
większąwielokrotnościąb,niewiększąoda,bszaśjesttakąwielokrotnościąb,która
leżynajbliżeja,tokładącrlalbqitlalbs,otrzymamytezętwierdzenia.
Bardziejformalnydowódmożnaprzeprowadzićnastępująco:
Jeślib>0,toprzyjmujemyql[a/b]orazrlalbq.Wobecq≤a/b<q+1
mamybq≤a<bq+b,azatem0≤r<bl|b|.Jeślib<0,toprzyjmujemy
qll[a/|b|]irozumujemypodobnie.Wyznaczenieliczbs,t,wprzypadkugdy0≤
r≤|b|/2,jestproste:przyjmujemyslqitlr.Jeślizaś|b|/2<r≤|b|,towobec
|rl|b||≤|b|/2ialqb+|b|+(rl|b|)możemyprzyjąćtlrl|b|oraz
sl{q+1,jeślib>0,
ql1,
jeślib<0.
(ii)Jeślialbqi+rilbq2+r2,0≤ri,r2<|b|ir2/lri,tob(qilq2)lr2lri/l0.
Zatemb|r2lri,awięcnamocytwierdzenia1.1(iv)mielibyśmy|b|≤|r2lri|,aleobie
liczbyri,r2leżąwprzedziale[0,|b|l1],awięc|r2lri|<|b|,sprzeczność.Zatem
rilr2,awięciqilq2.
Liczbęrnazywasięresztązdzieleniaaprzezb,liczbęqzaśniepełnymilorazem
ztegodzielenia.Liczbasjestnazywanabezwzględnienajmniejsząresztązdzieleniaa
przezb.
NastępującywniosekpojawiasięjużwElementachEuklidesa,coprawdazbłędnym
dowodem:
WNIOSEK1.Niechxbędzieniezerowąliczbąwymierną.Rozpatrzmywszystkiemożliwe
przedstawieniajejwpostaciilorazówliczbcałkowitychiwybierzmyspośródnichten,
wktórymlicznikmanajmniejsząwartośćbezwzględną,powiedzmyxla/b.Wówczas
zxlm/nprzycałkowitychm,nwynikaa|mib|n.
Dowód:Jeślianiedzielim,tokorzystajączczęści(i)twierdzenia1.2,możemy
napisaćmlqa+r,gdzieq,r∈Zi0<r<|a|.Wtedyz
xl
a
b
l
m
n
l
qa+r
n
