Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
34
1KRZYWEIPOWIERZCHNIE
Problem3
Zbadamy,dlajakichwartościdodatnichparametrówroiRtorusorów-
naniu:
(ρ−R)
2+z2=r2
o,
(1.2.32)
gdzieρ=√x2+y2,jestpowierzchniąwR3,anastępnieznajdziemy
wektoryrozpinająceprzestrzeństycznąwpunkcieowspółrzędnych
(R−ro,0,0).
Rozwiązanie
FunkcjaF,którejużywaliśmywpoprzednichzadaniach,matymrazem
postać:
F(xjyjz)=(ρ−R)2+z2−T2
o.
(1.2.33)
ObliczmydlaniejmacierzJacobiego:
F′=[2x(1−
R
ρ)2y(1−
R
ρ)2z].
(1.2.34)
Widzimy,żewszystkiepochodnecząstkoweistniejąpozaprzypadkiem,gdy
ρ=0,azatempozaprostąx=y=0.Abysprawdzić,czypunktyotakich
współrzędnychleżąnatorusie,podstawmytewartościdorównania(1.2.32)
isprawdźmy,czyjestmożliwejegospełnienie.Otrzymujemywtensposób
warunek:
z2=T2
o−R2
(1.2.35)
ijeśliprawastronajestnieujemna,czylidlaTo>R,rozwiązanianazistnieją.
WarunekTo>Roznaczajednak,żetorusmasamoprzecięcia.Abynieodwo-
ływaćsięwyłączniedowyobraźniCzytelnika,narysunku1.8przedstawiliśmy
poprzeczneprzekrojetorusa,gdyTo>RorazgdyTo<R.Punkty,wktó-
rychpowierzchniatorusaprzecinasięsamazesobą,niemająotoczeń,na
którychbyłabyonawykresemfunkcji.Widzimywięc,żewtymprzypadku
zbiórpunktówopisanychrównaniem(1.2.32)niejestpowierzchniąwR3.
ZdrugiejstronydlaTo<Rsamoprzecięćniema,macierzJacobiego(1.2.34)
mazawszerządrównyjedności,cołatwostwierdzić,imamydoczynienia
zpowierzchnią.
Dotegosamegownioskudojdziemy,używającopisuparametrycznego.
Opistakiwprowadziliśmywdrugiejczęściksiążki(zob.wzór(13.2.21))wzo-
rami:
x=(R+Tocosθ)cosoj
y=(R+Tocosθ)sinoj
z=Tosinθj(1.2.36)
