Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
1KRZYWEIPOWIERZCHNIE
niaćbędziemytylkojedenzparametrów(np.Ti),austalimypozostałek−1,to
układrównań(1.2.6)określakrzywąwprzestrzeniRn.Wielkośćti=∂x/∂Ti
tonicinnego,jakwektorstycznydotejkrzywej.MacierzG′mapostać:
G′=[t1jt2j...jtk]j
(1.2.8)
azatemjejkolumnystanowiąodpowiedniewektorystyczne.Żądaniemaksy-
malnegorzęduoznaczawistociewymóg,abywszystkiewektorystycznebyły
liniowoniezależne.Wprzeciwnymraziengubimy”wymiarinpowierzchnia”
siędegeneruje(mogąnp.pojawićsięnostrza”czysamoprzecięcia,jakna
rys.1.8).
AbyzbadaćwtensposóbzbiórVpodanywniniejszymzadaniu,musimy
najpierwzaproponowaćjakąśjegoparametryzację.Strukturax2/4+y2/9
sugerujewpierwszejkolejnościwybranie:
x=2Tcosoj
y=3Tsinoj
dziękiczemurównanieF=0przyjmiepostać:
T2−z2=1.
(1.2.9)
(1.2.10)
Następnie,jeśliprzypomnimysobieoistnieniunjedynkihiperbolicznej”,mo-
żemynapisać:
T=coshwj
z=sinhw.
(1.2.11)
Wefekcieuzyskujemy:
∫
|
y(wjo)
x(wjo)
1
|
=
∫
|
g1(wjo)
g2(wjo)
1
|
=
∫
|
2coshwcoso
3coshwsino
1
|
.
l
z(wjo)
J
l
g3(wjo)
J
l
sinhw
J
(1.2.12)
Jakłatwosięprzekonać,parametryzacjatajestuniwersalnadlacałego
zbioruV:dlakażdegopunktuwVznajdziemyodpowiedniewartościpara-
metrówworazo,itowsposóbjednoznaczny.Pozostajenamterazzbadać
rządmacierzyG′.Obliczającpochodnepoparametrach,znajdujemy:
G′=
∫
|
2sinhwcoso−2coshwsino
3sinhwsino
3coshwcoso
1
|
.
l
coshw
0
J
(1.2.13)
Abyprzekonaćsię,czyrządtejmacierzyjestmaksymalny,czylirówny
2,musimyobliczaćkolejnedwuwymiaroweminory.ZG′możnautworzyć
trzykwadratowepodmacierze2×2,jeśliwykreślićpierwszy,drugilubtrzeci
wiersz.Otrzymujemykolejnowyznaczniki(indeksoznaczanumerykolumn,
