Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
15
Wliteraturzeprzedmiotudonajważniejszychwielowymiarowychrozkładów
prawdopodobieństwazaliczasięwielowymiarowyrozkładnormalny(por.np.
[BilodeauiBrenner19997Kotz7BalakrishnaniJohnson20007Fujikoshi7Ulyanov
iShimizu2010]).Analizytegorozkładudokonujesięm.in.poprzezwyznaczenie
jegoodpowiednichcharakterystykliczbowychczywektorowych.B.Holmquist
[1988]dlawielowymiarowegorozkładunormalnegoprzedstawiłpostaćwekto-
rowychmomentówzwykłychicentralnych,natomiastL.Isserlis[1918]dla
tegorozkładuzaproponowałalgorytmwyznaczaniacentralnychmomentów
mieszanych.
Dążącdouzupełnieniazestawucharakterystykwielowymiarowegorozkładu
normalnegoopostaćmomentówcentralnychopartychnadefinicjipotęgiwektora
[Tatar1996,1999],zauważmy,żemomentytesąodpowiednioskonstruowanymi
sumami7ewentualniezestawieniamicentralnychmomentówmieszanychstosow-
nychrzędów.PrzypomnijmyzatemtwierdzenieIsserlisa[1918].
Twierdzenie1.4[Isserlis1918].Momentycentralnemieszanerzędurwektora
losowego
X
:
Ω
"
R
n
owielowymiarowymrozkładzienormalnymmożnaprzed-
stawićwpostaci:
•
µ
r
1
,iii,
rn
^
X
h
=
0
,jeżelirtoliczbanieparzysta7
•dlarparzystych7czylir=2s:
µ
r
1
,iii,
r
n
^
X
h
=
/
cov
^
XX
a
b
h
cov
^
XX
c
,
d
h
$$
iii
cov
^
XX
y
z
h
,
,
,
(1.18)
gdziesumowanieprzebiegaprzezwszystkiepodziałyzbioru
"
1
,iii,s
2
,
na
sdwuelementowychpodzbiorów.
Sumujemywięc
2
s1
^
–
2
s
^
–
s
1
–
h
1
!
h
!
składnikówbędącychiloczynamiskowariancji.
Najwygodniejrozpocząćodwyznaczeniamomentucentralnegomieszanegorzędur
dlarróżnychzmiennychlosowych,apóźniej,stosowniegoupraszczając,przyjąć
X
i=X
j7przyzachowaniukonwencji
covXX
^
i
,
i
h
=
σ
2
i
i
Jakoilustracjętegotwierdzeniarozważmymomentycentralnemieszane
rzęduczwartegor
^
=
2
S
=
4
h
wektoralosowegoowielowymiarowymrozkładzie
normalnym(por.np.[Budny2012]).Będziemyzatemobliczaćsumytrzechskład-
ników,któresąiloczynamidwóchkowariancji.NapodstawietwierdzeniaIsserlisa
[1918]momentcentralnymieszanyrzęduczwartegodlaczterechróżnychzmien-
nychlosowychprzyjmujepostać:
EX
[
^
i
–
EX
i
h
^
X
j
–
EX
j
h
^
X
k
–
EX
k
h
^
X
l
–
EX
l
h
]
=
=
cov
^
XX
i
j
h
cov
^
XX
k
l
h
+
cov
^
XX
i
k
h
cov
^
XX
j
l
h
+
cov
^
XX
i
l
h
cov
^
XX
j
,
k
h
i
(1.19)
,
,
,
,
,
Wszczególności,podstawiającwewzorze(1.19):
X
j
=
X
i
,
X
k
=
X
i
oraz
X
l
=
X
i
,
uzyskujemy:
