Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1
DOTYCHCZASOWECHARAKTERYSTYKI
ROZKŁADUWEKTORALOSOWEGO
OPARTENAKONCEPCJIPOTĘGIWEKTORA
1.1.Definicjapotęgiwektoraijejpodstawowewłasności
RozważmyprzestrzeńHilberta
^
HR
+
,
$
h
wyposażonąwiloczynskalarny
,
,
$$,indukującynormępostaci
7
v
=
vv
,
7dlawszystkichv
!
H
.Odpo-
wiednikdziałaniamnożeniawprzestrzeniliczbrzeczywistychRtodladowolnej
przestrzeniHilbertamnożenieskalarnejejelementów,czyli
vw7gdzie7
7
vw
!
H
.
Wprzypadkumnożeniadwóchtychsamychwektorówotrzymujemyzatem
vv7
7
comożedefiniowaćoperacjępodnoszeniadokwadratuelementówzprzestrzeni
Hilbertajako
v
2=
vv
,
.J.Tatar[1996,1999]podjąłtenwątekbadawczyizapro-
ponowałsposób„mnożenia”dowolnejliczbytychsamychelementówprzestrzeni
Hilberta,awięczdefiniowałoperatorpotęgowaniawektorówodowolnieusta-
lonymwykładnikubędącymliczbąnaturalną.
Definicja1.1[Tatar199671999].Dladowolnegowektorav
!
H
orazdowolnej
liczbyk
!
N
7k-tąpotęgęwektoravdefiniujemywnastępującysposób:
v
o
=
1
!
R
oraz
v
r
=
*
v
v
r
–
r
1
–
1
$
,
v
v
dla
r
nieparzystych
,
dla
r
parzystych
i
Zauważmy,żeparzystepotęgiwektorav,określonezapomocąiloczynuskalar-
nego,towielkościskalarne(liczbyrzeczywiste),natomiastpotęginieparzyste,
wyznaczoneprzezdziałaniezewnętrznewprzestrzeniH,towielkościwekto-
rowe,czylielementyzrozważanejprzestrzeni.Ponadtooperatorpotęgowaniama
własnościanalogicznedowłasnościdziałaniapotęgowanialiczbrzeczywistych
owykładnikunaturalnym.Zachodzązatemnastępującewarunki(por.[Tatar
1999]):
