Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Twierdzenie1.1
Jeżeliy(x)jestcałkąogólnąrównaniaróżniczkowegoliniowegojednorodnego,
ay1(x)jestjakąkolwiekcałkąszczególnąrównanialiniowegoniejednorodnego,to
y(x)+y1(0)
jestcałkąogólnąrównaniaróżniczkowegoliniowegoniejednorodnego.
Dowód:Zgodniezzałożeniamimamy
[
{
[
y
y
1
'
(
'
(
x
x
)
)
+
+
p
p
(
(
x
x
)
)
y
y
(
1
x
(
)
x
±
)
±
0
f
(
x
).
Dodając,otrzymujemy
[y(x)+y1(x)]'+p(x)[y(x)+y1(x)]=f(x),
cooznacza,żey(x)+y1(x)jestrozwiązaniemrównanianiejednorodnego.Jestto
całkaogólna,ponieważdladowolnychwarunkówpoczątkowychy(x0)=y0można
wyznaczyćstałąCwystępującąwrozwiązaniu
y(x)+y1(x)=Ce
-P(x)+y1(x),
amianowicie
y0=Ce
-P(x
0)+y1(x0).
Stądmamy
C=[y0-y1(x0)]eP(x0).
Przykład1.7
Znaleźćcałkęogólnąrównania
y'+4y=x3.
Rozwiązanie:Rozwiązujemyrównaniejednorodne
y'+4y=0,
dy
dx
=-4y,
dy
y
=-4dx,
∫
dy
y
=-4
∫
dx,
ln|y|=-4x+ln|C|,
19
